四面体OABCがあり、O(0,0,0), A(1,1,4), B(4,-2,2), C(2,2,-2)を頂点とする。 (1) Oから辺BCに下ろした垂線と辺BCの交点Qについて、線分OQの長さを求める。 (2) 三角形OBCの面積を求める。 (3) Aから三角形OBCを含む面に下ろした垂線と面との交点Rの座標を求める。 (4) 四面体OABCの体積を求める。

1. 問題の内容

四面体OABCがあり、O(0,0,0), A(1,1,4), B(4,-2,2), C(2,2,-2)を頂点とする。

(1) Oから辺BCに下ろした垂線と辺BCの交点Qについて、線分OQの長さを求める。

(2) 三角形OBCの面積を求める。

(3) Aから三角形OBCを含む面に下ろした垂線と面との交点Rの座標を求める。

(4) 四面体OABCの体積を求める。

2. 解き方の手順

(1) 線分OQの長さを求める。

まず、点Qは辺BC上にあるので、$\vec{OQ} = (1-t)\vec{OB} + t\vec{OC}$と表せる。

$\vec{OQ} = (1-t)(4, -2, 2) + t(2, 2, -2) = (4-2t, -2+4t, 2-4t)$

$\vec{OQ} \perp \vec{BC}$ より、$\vec{OQ} \cdot \vec{BC} = 0$

$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB} = (2, 2, -2) - (4, -2, 2) = (-2, 4, -4)$

$(4-2t, -2+4t, 2-4t) \cdot (-2, 4, -4) = -8+4t -8+16t -8+16t = 36t - 24 = 0$

$t = \frac{2}{3}$

$\vec{OQ} = (4-2*\frac{2}{3}, -2+4*\frac{2}{3}, 2-4*\frac{2}{3}) = (\frac{8}{3}, \frac{2}{3}, -\frac{2}{3})$

$|\vec{OQ}| = \sqrt{(\frac{8}{3})^2 + (\frac{2}{3})^2 + (-\frac{2}{3})^2} = \sqrt{\frac{64+4+4}{9}} = \sqrt{\frac{72}{9}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$

(2) 三角形OBCの面積を求める。

$\vec{OB} = (4, -2, 2), \vec{OC} = (2, 2, -2)$

$\vec{OB} \times \vec{OC} = \begin{pmatrix} i & j & k \\ 4 & -2 & 2 \\ 2 & 2 & -2 \end{pmatrix} = (4-4)i - (-8-4)j + (8+4)k = 0i + 12j + 12k = (0, 12, 12)$

$|\vec{OB} \times \vec{OC}| = \sqrt{0^2 + 12^2 + 12^2} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$

三角形OBCの面積 = $\frac{1}{2} |\vec{OB} \times \vec{OC}| = \frac{1}{2} * 12\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$

(3) 点Rの座標を求める。

面OBCの法線ベクトルは$\vec{OB} \times \vec{OC} = (0, 12, 12)$ であり、$\vec{n} = (0, 1, 1)$も法線ベクトルである。

面OBCの方程式は、 $0(x-0) + 1(y-0) + 1(z-0) = 0$ より $y + z = 0$

$\vec{AR} = k\vec{n} = k(0, 1, 1)$

$\vec{OR} = \vec{OA} + \vec{AR} = (1, 1, 4) + k(0, 1, 1) = (1, 1+k, 4+k)$

点Rは面OBC上にあるので、$(1+k) + (4+k) = 0$

$2k + 5 = 0$

$k = -\frac{5}{2}$

$\vec{OR} = (1, 1-\frac{5}{2}, 4-\frac{5}{2}) = (1, -\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$

点Rの座標は $(1, -\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$

(4) 四面体OABCの体積を求める。

四面体OABCの体積 = $\frac{1}{6} |\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC})|$

$\vec{OA} = (1, 1, 4)$

$\vec{OB} \times \vec{OC} = (0, 12, 12)$

$\vec{OA} \cdot (\vec{OB} \times \vec{OC}) = (1, 1, 4) \cdot (0, 12, 12) = 0 + 12 + 48 = 60$

四面体OABCの体積 = $\frac{1}{6} |60| = 10$

3. 最終的な答え

(1) 線分OQの長さ: $2\sqrt{2}$

(2) 三角形OBCの面積: $6\sqrt{2}$

(3) 点Rの座標: $(1, -\frac{3}{2}, \frac{3}{2})$

(4) 四面体OABCの体積: 10