直角三角形ABCがあり、点Pが点Aから秒速2cmで辺AB, BC上を通って点Cまで移動する。点Pが点Aを出発してからx秒後の三角形APCの面積を$y cm^2$とする。(1)点Pが点Aを出発してから点Cに着くまでのxとyの関係をグラフで表す。(2)$y=18$となるxの値を全て求める。

1. 問題の内容

直角三角形ABCがあり、点Pが点Aから秒速2cmで辺AB, BC上を通って点Cまで移動する。点Pが点Aを出発してからx秒後の三角形APCの面積を$y cm^2$とする。(1)点Pが点Aを出発してから点Cに着くまでのxとyの関係をグラフで表す。(2)$y=18$となるxの値を全て求める。

2. 解き方の手順

(1)

点Pが辺AB上にあるとき：

時間xは、$0 \leq x \leq \frac{6}{2}=3$の範囲をとる。

このとき、AP = 2xである。

三角形APCの面積yは、

$y = \frac{1}{2} \times AC \times AP = \frac{1}{2} \times \sqrt{6^2 + 10^2} \times 2x$

AC = $\sqrt{136} = 2\sqrt{34}$。しかし、高さをAB=6とすると底辺は10なので

$y = \frac{1}{2} \times 10 \times (6-2x) = 30 - 10x$

x=0のときy=30, x=3のときy=0

点Pが辺BC上にあるとき：

時間xは、$3 \leq x \leq 3 + \frac{10}{2} = 8$の範囲をとる。

このとき、三角形APCの面積yは、

$y = \frac{1}{2} \times AC \times 0 = 0$

$AB=6$を高さとすると三角形APCの面積は$y=0$となる。

グラフはxが0から3の間でyが30から0に減少する直線と、xが3から8の間でy=0となる直線になる。

(2)

$y=18$となるxの値を求める。

点PがAB上にあるとき、$y = 30 - 10x = 18$となるxを求める。

$30 - 10x = 18$

$10x = 30 - 18$

$10x = 12$

$x = \frac{12}{10} = \frac{6}{5} = 1.2$

$0 \leq x \leq 3$を満たすので、これは解となる。

点PがBC上にあるとき、$y = 0$なので、$y=18$となることはない。

よって、$x = 1.2$

3. 最終的な答え

(1) グラフ： xが0から3の間でyが30から0に減少する直線と、xが3から8の間でy=0となる直線。

(2) $x = 1.2$