## 問題 B3

## 問題 B3

1. 問題の内容

一辺の長さが3の正四面体OABCがある。辺OC上にOD=1となる点Dを、辺OB上にOE=3/4となる点Eをとる。以下の問いに答えよ。

(1) △ABCの外接円の半径を求めよ。また、点Oから平面ABCに垂線を引き、平面ABCとの交点をHとする。線分OHの長さを求めよ。

(2) 四面体OAEDの体積を求めよ。

(3) cos∠AEDの値を求めよ。また、点Oから平面AEDに引いた垂線の長さを求めよ。

## 解き方の手順

(1) △ABCは一辺の長さが3の正三角形なので、外接円の半径Rは、

$R = \frac{3}{2\sin(60^\circ)} = \frac{3}{2(\sqrt{3}/2)} = \sqrt{3}$

また、正四面体OABCにおいて、点Hは△ABCの重心に一致する。OHは正四面体の高さなので、OA=3とすると、AH = R = $\sqrt{3}$。よって、三平方の定理より、

$OH^2 = OA^2 - AH^2 = 3^2 - (\sqrt{3})^2 = 9 - 3 = 6$

$OH = \sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積を求める。四面体OABCの体積Vは、底面積×高さ÷3より、

$V = \frac{1}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times 3^2 \times \sqrt{6} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$

四面体OAEDの体積をV'とすると、

$V' = \frac{OD}{OC} \times \frac{OE}{OB} \times V = \frac{1}{3} \times \frac{3/4}{3} \times V = \frac{1}{12}V$

$V' = \frac{1}{12} \times \frac{9\sqrt{2}}{4} = \frac{3\sqrt{2}}{16}$

(3) cos∠AEDの値を求める。

$\vec{AE} = \vec{OE} - \vec{OA} = \frac{3}{4}\vec{OB} - \vec{OA}$

$\vec{AD} = \vec{OD} - \vec{OA} = \frac{1}{3}\vec{OC} - \vec{OA}$

$|\vec{AE}|^2 = (\frac{3}{4})^2 |\vec{OB}|^2 - 2\frac{3}{4}\vec{OB} \cdot \vec{OA} + |\vec{OA}|^2 = \frac{9}{16} \times 9 - \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} \times 9 + 9 = \frac{81}{16} - \frac{27}{4} + 9 = \frac{81 - 108 + 144}{16} = \frac{117}{16}$

$|\vec{AD}|^2 = (\frac{1}{3})^2 |\vec{OC}|^2 - 2\frac{1}{3}\vec{OC} \cdot \vec{OA} + |\vec{OA}|^2 = \frac{1}{9} \times 9 - \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} \times 9 + 9 = 1 - 3 + 9 = 7$

$\vec{AE} \cdot \vec{AD} = (\frac{3}{4}\vec{OB} - \vec{OA}) \cdot (\frac{1}{3}\vec{OC} - \vec{OA}) = \frac{1}{4}\vec{OB} \cdot \vec{OC} - \frac{3}{4}\vec{OB} \cdot \vec{OA} - \frac{1}{3}\vec{OA} \cdot \vec{OC} + |\vec{OA}|^2 = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} \times 9 - \frac{3}{4} \times \frac{1}{2} \times 9 - \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} \times 9 + 9 = \frac{9}{8} - \frac{27}{8} - \frac{3}{2} + 9 = -\frac{9}{4} - \frac{6}{4} + \frac{36}{4} = \frac{21}{4}$

$cos\angle AED = \frac{\vec{AE} \cdot \vec{AD}}{|\vec{AE}||\vec{AD}|} = \frac{\frac{21}{4}}{\sqrt{\frac{117}{16}} \sqrt{7}} = \frac{\frac{21}{4}}{\frac{\sqrt{117 \times 7}}{4}} = \frac{21}{\sqrt{819}} = \frac{21}{\sqrt{9 \times 91}} = \frac{21}{3\sqrt{91}} = \frac{7}{\sqrt{91}} = \frac{7\sqrt{91}}{91} = \frac{\sqrt{91}}{13}$

点Oから平面AEDに引いた垂線の長さをhとする。四面体OAEDの体積は、$V' = \frac{1}{3} \times S_{\triangle AED} \times h$。

$S_{\triangle AED} = \frac{1}{2} |\vec{AE}| |\vec{AD}| \sin \angle AED$

$S_{\triangle AED}^2 = \frac{1}{4} |\vec{AE}|^2 |\vec{AD}|^2 (1 - \cos^2 \angle AED) = \frac{1}{4} \times \frac{117}{16} \times 7 \times (1 - \frac{49}{91}) = \frac{1}{4} \times \frac{117}{16} \times 7 \times \frac{42}{91} = \frac{117 \times 7 \times 42}{4 \times 16 \times 91} = \frac{9 \times 13 \times 7 \times 6 \times 7}{4 \times 16 \times 7 \times 13} = \frac{9 \times 42}{64} = \frac{378}{64} = \frac{189}{32}$

$S_{\triangle AED} = \sqrt{\frac{189}{32}} = \frac{\sqrt{378}}{8} = \frac{3\sqrt{42}}{8}$

$\frac{3\sqrt{2}}{16} = \frac{1}{3} \times \frac{3\sqrt{42}}{8} \times h$

$h = \frac{3\sqrt{2}}{16} \times \frac{3 \times 8}{3\sqrt{42}} = \frac{3\sqrt{2} \times 8}{16\sqrt{42}} = \frac{3\sqrt{2}}{2\sqrt{42}} = \frac{3}{2\sqrt{21}} = \frac{3\sqrt{21}}{42} = \frac{\sqrt{21}}{14}$

## 最終的な答え

(1) △ABCの外接円の半径: $\sqrt{3}$, OHの長さ: $\sqrt{6}$

(2) 四面体OAEDの体積: $\frac{3\sqrt{2}}{16}$

(3) cos∠AED: $\frac{\sqrt{91}}{13}$, 点Oから平面AEDに引いた垂線の長さ: $\frac{\sqrt{21}}{14}$