(1) 直線 $x + 2y = 0$ に関して、点 $A(3, -4)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。 (2) 直線 $x + y + 1 = 0$ に関して、点 $A(3, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 直線 $x + 2y = 0$ に関して、点 $A(3, -4)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

(2) 直線 $x + y + 1 = 0$ に関して、点 $A(3, 2)$ と対称な点 $B$ の座標を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 点 $B$ の座標を $(x, y)$ とおく。

点 $A$ と点 $B$ の中点 $M$ は、直線 $x + 2y = 0$ 上にあるので、中点の座標を計算し、$x + 2y = 0$ に代入する。

線分 $AB$ は直線 $x + 2y = 0$ と直交するので、$AB$ の傾きを計算し、$x + 2y = 0$ の傾きとの積が $-1$ となる式を作る。

これら2つの式を連立させて $x, y$ を求めればよい。

点 $M$ の座標は $(\frac{3+x}{2}, \frac{-4+y}{2})$ である。

これが直線 $x + 2y = 0$ 上にあるので、

$\frac{3+x}{2} + 2\cdot \frac{-4+y}{2} = 0$

$3+x - 8 + 2y = 0$

$x + 2y = 5$ ...(1)

直線 $AB$ の傾きは $\frac{y - (-4)}{x - 3} = \frac{y+4}{x-3}$ である。

直線 $x + 2y = 0$ の傾きは $-\frac{1}{2}$ である。

$AB$ と $x + 2y = 0$ が直交するので、

$\frac{y+4}{x-3} \cdot (-\frac{1}{2}) = -1$

$\frac{y+4}{x-3} = 2$

$y+4 = 2(x-3)$

$y+4 = 2x - 6$

$2x - y = 10$ ...(2)

(1) + 2 * (2) より,

$x + 2y + 4x - 2y = 5 + 20$

$5x = 25$

$x = 5$

(1) より, $5 + 2y = 5$

$2y = 0$

$y = 0$

よって、点 $B$ の座標は $(5, 0)$ である。

(2) 点 $B$ の座標を $(x, y)$ とおく。

点 $A$ と点 $B$ の中点 $M$ は、直線 $x + y + 1 = 0$ 上にあるので、中点の座標を計算し、$x + y + 1 = 0$ に代入する。

線分 $AB$ は直線 $x + y + 1 = 0$ と直交するので、$AB$ の傾きを計算し、$x + y + 1 = 0$ の傾きとの積が $-1$ となる式を作る。

これら2つの式を連立させて $x, y$ を求めればよい。

点 $M$ の座標は $(\frac{3+x}{2}, \frac{2+y}{2})$ である。

これが直線 $x + y + 1 = 0$ 上にあるので、

$\frac{3+x}{2} + \frac{2+y}{2} + 1 = 0$

$3+x + 2+y + 2 = 0$

$x + y = -7$ ...(3)

直線 $AB$ の傾きは $\frac{y - 2}{x - 3}$ である。

直線 $x + y + 1 = 0$ の傾きは $-1$ である。

$AB$ と $x + y + 1 = 0$ が直交するので、

$\frac{y-2}{x-3} \cdot (-1) = -1$

$\frac{y-2}{x-3} = 1$

$y-2 = x-3$

$x - y = 1$ ...(4)

(3) + (4) より,

$x + y + x - y = -7 + 1$

$2x = -6$

$x = -3$

(3) より, $-3 + y = -7$

$y = -4$

よって、点 $B$ の座標は $(-3, -4)$ である。

3. 最終的な答え

(1) $(5, 0)$

(2) $(-3, -4)$