座標平面上に3点 $A(0,1)$, $B(0,2)$, $P(x,x)$ がある。ただし $x>0$ とする。$x$ の値が変化するとき、$\angle APB$ の最大値を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上に3点 $A(0,1)$, $B(0,2)$, $P(x,x)$ がある。ただし $x>0$ とする。$x$ の値が変化するとき、$\angle APB$ の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\angle APB = \theta$ とおく。

$\overrightarrow{PA} = (-x, 1-x)$, $\overrightarrow{PB} = (-x, 2-x)$ であるから、

$\cos \theta = \frac{\overrightarrow{PA} \cdot \overrightarrow{PB}}{|\overrightarrow{PA}||\overrightarrow{PB}|} = \frac{x^2 + (1-x)(2-x)}{\sqrt{x^2+(1-x)^2}\sqrt{x^2+(2-x)^2}} = \frac{x^2 + x^2-3x+2}{\sqrt{x^2+1-2x+x^2}\sqrt{x^2+4-4x+x^2}} = \frac{2x^2-3x+2}{\sqrt{2x^2-2x+1}\sqrt{2x^2-4x+4}}$

$\cos \theta = \frac{2x^2-3x+2}{\sqrt{(2x^2-2x+1)(2x^2-4x+4)}}$

$f(x) = (2x^2-2x+1)(2x^2-4x+4) = 4x^4 -8x^3 +8x^2 -4x^3 +8x^2 -8x +2x^2 -4x +4 = 4x^4 -12x^3 + 18x^2 -12x+4$

$\cos \theta = \frac{2x^2-3x+2}{\sqrt{4x^4 -12x^3 + 18x^2 -12x+4}}$

$2x^2 -3x+2 = k\sqrt{4x^4 -12x^3 + 18x^2 -12x+4}$

両辺を2乗すると、

$(2x^2-3x+2)^2 = k^2(4x^4 -12x^3 + 18x^2 -12x+4)$

$4x^4+9x^2+4 -12x^3 + 8x^2 - 12x = k^2(4x^4 -12x^3 + 18x^2 -12x+4)$

$4x^4 -12x^3 + 17x^2 -12x+4 = k^2(4x^4 -12x^3 + 18x^2 -12x+4)$

$g(x) = \frac{2x^2-3x+2}{\sqrt{4x^4-12x^3+18x^2-12x+4}} = \frac{2x^2-3x+2}{\sqrt{4(x^4-3x^3+\frac{9}{2}x^2 -3x+1)}}$

$\cos \theta = \frac{2x^2-3x+2}{\sqrt{(2x^2-2x+1)(2x^2-4x+4)}}$

$\cos \theta = \frac{2x^2-3x+2}{2 \sqrt{x^4-3x^3+ \frac{9}{2}x^2 -3x+1}}$

ここで、$x>0$ より $x=1$ の時を考えると、

$A(0,1), B(0,2), P(1,1)$

$\overrightarrow{PA} = (-1,0), \overrightarrow{PB} = (-1,1)$

$\cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1}\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ より $\theta = \frac{\pi}{4}$

$x=1$の近傍で$\theta$が最大になると仮定する。

$x=1$を代入すると、$\cos \theta = \frac{2-3+2}{\sqrt{2-2+1}\sqrt{2-4+4}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\theta = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$