直線 $l: y = \frac{1}{2}x + 1$ と直線 $m: y = -x + 4$ が与えられています。 (1) 直線 $l$ と直線 $m$ の交点 A の座標を求める問題です。 (2) 直線 $m$ 上の点 B の $x$ 座標が 10 であるとき、点 B を通り y 軸に平行な直線と直線 $l$ との交点を C とします。直線 $m$ と x 軸との交点を D とするとき、三角形 ABC の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{1}{2}x + 1$ と直線 $m: y = -x + 4$ が与えられています。

(1) 直線 $l$ と直線 $m$ の交点 A の座標を求める問題です。

(2) 直線 $m$ 上の点 B の $x$ 座標が 10 であるとき、点 B を通り y 軸に平行な直線と直線 $l$ との交点を C とします。直線 $m$ と x 軸との交点を D とするとき、三角形 ABC の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 点 A の座標を求める

点 A は直線 $l$ と直線 $m$ の交点なので、連立方程式

$$

\begin{cases}

y = \frac{1}{2}x + 1 \\

y = -x + 4

\end{cases}

$$

を解きます。

$\frac{1}{2}x + 1 = -x + 4$

$\frac{3}{2}x = 3$

$x = 2$

$y = -2 + 4 = 2$

したがって、点 A の座標は (2, 2) です。

(2) 点 B の座標を求める

点 B は直線 $m$ 上にあり、$x$ 座標が 10 なので、$y = -10 + 4 = -6$。

したがって、点 B の座標は (10, -6) です。

(3) 点 C の座標を求める

点 C は点 B を通り y 軸に平行な直線と直線 $l$ との交点なので、$x$ 座標は 10 です。

直線 $l$ の方程式に $x = 10$ を代入すると、$y = \frac{1}{2}(10) + 1 = 5 + 1 = 6$。

したがって、点 C の座標は (10, 6) です。

(4) 点 D の座標を求める

点 D は直線 $m$ と x 軸との交点なので、$y = 0$。

$0 = -x + 4$ より $x = 4$。

したがって、点 D の座標は (4, 0) です。

(5) 三角形 ABC の面積を求める

点 A (2, 2), 点 B (10, -6), 点 C (10, 6) です。

線分 BC は y 軸に平行なので、三角形 ABC の底辺を BC とすると、BC の長さは $6 - (-6) = 12$ です。

三角形 ABC の高さは、点 A から直線 BC までの距離なので、$10 - 2 = 8$ です。

したがって、三角形 ABC の面積は $\frac{1}{2} \times 12 \times 8 = 48$ です。

3. 最終的な答え

(1) 点 A の座標: (2, 2)

(2) 三角形 ABC の面積: 48