四面体OABCにおいて、$\vec{OP} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}}{3}$ で定まる点Pがある。直線CPと三角形OABの交点Qの位置ベクトル$\vec{OQ}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、$\vec{OP} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}}{3}$ で定まる点Pがある。直線CPと三角形OABの交点Qの位置ベクトル$\vec{OQ}$を$\vec{OA}$と$\vec{OB}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

まず、点Qが直線CP上にあることから、実数 $k$ を用いて

$\vec{OQ} = (1-k)\vec{OC} + k\vec{OP}$ と表せる。

$\vec{OP} = \frac{\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}}{3}$ を代入すると、

$\vec{OQ} = (1-k)\vec{OC} + k \left( \frac{\vec{OA} + \vec{OB} - \vec{OC}}{3} \right)$

$\vec{OQ} = \frac{k}{3}\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB} + \left( 1 - k - \frac{k}{3} \right) \vec{OC}$

$\vec{OQ} = \frac{k}{3}\vec{OA} + \frac{k}{3}\vec{OB} + \left( 1 - \frac{4k}{3} \right) \vec{OC}$

次に、点Qが三角形OAB上にあることから、$\vec{OQ} = s\vec{OA} + t\vec{OB}$ ($s+t = 1$) と表せる。

これは $\vec{OQ}$ の $\vec{OC}$ 成分が 0 であることを意味する。

よって、 $1 - \frac{4k}{3} = 0$ が成り立つ。

この式を解くと、$\frac{4k}{3} = 1$ より $k = \frac{3}{4}$ である。

これを$\vec{OQ}$の式に代入すると、

$\vec{OQ} = \frac{3/4}{3}\vec{OA} + \frac{3/4}{3}\vec{OB} + 0\vec{OC}$

$\vec{OQ} = \frac{1}{4}\vec{OA} + \frac{1}{4}\vec{OB}$

3. 最終的な答え

$\vec{OQ} = \frac{1}{4}\vec{OA} + \frac{1}{4}\vec{OB}$