直線 $l: y = \frac{1}{2}x + 2$ と直線 $m: y = -\frac{3}{2}x + 6$ があり、それらの交点をAとします。直線 $l$, $m$ と $x$軸との交点をそれぞれB, Cとします。このとき、以下の問いに答えます。 (1) 点Aの座標を求めなさい。 (2) 線分AB上を動く点をPとします。三角形PBCの面積が10となるときの点Pの座標を求めなさい。 (3) 点Cを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

はい、承知いたしました。問題文と画像から判断して、以下の通り回答します。

1. 問題の内容

直線 $l: y = \frac{1}{2}x + 2$ と直線 $m: y = -\frac{3}{2}x + 6$ があり、それらの交点をAとします。直線 $l$, $m$ と $x$軸との交点をそれぞれB, Cとします。このとき、以下の問いに答えます。

(1) 点Aの座標を求めなさい。

(2) 線分AB上を動く点をPとします。三角形PBCの面積が10となるときの点Pの座標を求めなさい。

(3) 点Cを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 点Aの座標を求める。

点Aは直線 $l$ と $m$ の交点なので、連立方程式を解きます。

$\begin{cases}

y = \frac{1}{2}x + 2 \\

y = -\frac{3}{2}x + 6

\end{cases}$

$\frac{1}{2}x + 2 = -\frac{3}{2}x + 6$

$2x = 4$

$x = 2$

$y = \frac{1}{2}(2) + 2 = 1 + 2 = 3$

よって、点Aの座標は(2, 3)です。

(2) 点B, Cの座標を求める。

点Bは直線 $l$ と $x$軸との交点なので、$y = 0$ を代入します。

$0 = \frac{1}{2}x + 2$

$x = -4$

よって、点Bの座標は(-4, 0)です。

点Cは直線 $m$ と $x$軸との交点なので、$y = 0$ を代入します。

$0 = -\frac{3}{2}x + 6$

$\frac{3}{2}x = 6$

$x = 4$

よって、点Cの座標は(4, 0)です。

三角形PBCの面積が10となる点Pの座標を求める。

点Pは線分AB上にあるので、点Pの$x$座標を$p$とすると、点Pの$y$座標は$y = \frac{1}{2}p + 2$ と表せます。

三角形PBCの底辺BCの長さは$4 - (-4) = 8$です。

三角形PBCの面積は $\frac{1}{2} \times 8 \times (\frac{1}{2}p + 2) = 10$

$4(\frac{1}{2}p + 2) = 10$

$\frac{1}{2}p + 2 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}$

$\frac{1}{2}p = \frac{5}{2} - 2 = \frac{1}{2}$

$p = 1$

点Pの$y$座標は $y = \frac{1}{2}(1) + 2 = \frac{5}{2}$

よって、点Pの座標は$(1, \frac{5}{2})$です。

(3) 点Cを通り、三角形ABCの面積を2等分する直線の式を求める。

三角形ABCの面積を2等分する直線は、辺ABの中点を通ります。

辺ABの中点をMとすると、Mの座標は $(\frac{2+(-4)}{2}, \frac{3+0}{2}) = (-1, \frac{3}{2})$ です。

求める直線は点C(4, 0)と点M(-1, $\frac{3}{2}$)を通るので、直線の傾きは

$\frac{\frac{3}{2} - 0}{-1 - 4} = \frac{\frac{3}{2}}{-5} = -\frac{3}{10}$

よって、求める直線の式は

$y = -\frac{3}{10}x + b$

点C(4, 0)を通るので

$0 = -\frac{3}{10}(4) + b$

$b = \frac{12}{10} = \frac{6}{5}$

求める直線の式は $y = -\frac{3}{10}x + \frac{6}{5}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 点Aの座標: (2, 3)

(2) 点Pの座標: (1, 5/2)

(3) 直線の式: $y = -\frac{3}{10}x + \frac{6}{5}$