(1) 中心が $(1, -3, -1)$ で、点 $(2, -5, 1)$ を通る球の方程式を求めます。 (2) 2点 $(-2, 6, 3)$, $(2, -2, -1)$ を直径の両端とする球の方程式を求めます。

1. 問題の内容

(1) 中心が $(1, -3, -1)$ で、点 $(2, -5, 1)$ を通る球の方程式を求めます。

(2) 2点 $(-2, 6, 3)$, $(2, -2, -1)$ を直径の両端とする球の方程式を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 球の中心 $(a, b, c)$ と半径 $r$ がわかれば、球の方程式は $(x-a)^2 + (y-b)^2 + (z-c)^2 = r^2$ で表されます。

中心が $(1, -3, -1)$ で、点 $(2, -5, 1)$ を通るので、半径 $r$ は、この2点間の距離で与えられます。

$r^2 = (2-1)^2 + (-5-(-3))^2 + (1-(-1))^2 = 1^2 + (-2)^2 + 2^2 = 1 + 4 + 4 = 9$

したがって、$r=3$ です。

よって、球の方程式は $(x-1)^2 + (y+3)^2 + (z+1)^2 = 9$ です。

(2) 直径の両端が $(-2, 6, 3)$ と $(2, -2, -1)$ なので、球の中心は、この2点の中点として求められます。

中心の座標は $\left( \frac{-2+2}{2}, \frac{6+(-2)}{2}, \frac{3+(-1)}{2} \right) = (0, 2, 1)$ です。

次に、半径 $r$ は、中心と直径の端点の距離で求められます。

$r^2 = (2-0)^2 + (-2-2)^2 + (-1-1)^2 = 2^2 + (-4)^2 + (-2)^2 = 4 + 16 + 4 = 24$

したがって、$r = \sqrt{24} = 2\sqrt{6}$ です。

よって、球の方程式は $x^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 24$ です。

3. 最終的な答え

(1) $(x-1)^2 + (y+3)^2 + (z+1)^2 = 9$

(2) $x^2 + (y-2)^2 + (z-1)^2 = 24$