三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をM、辺BCを3:2に内分する点をNとする。線分ANとCMの交点をOとし、直線BOと辺ACの交点をPとする。三角形AOPの面積が1のとき、三角形ABCの面積Sを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺ABを1:2に内分する点をM、辺BCを3:2に内分する点をNとする。線分ANとCMの交点をOとし、直線BOと辺ACの交点をPとする。三角形AOPの面積が1のとき、三角形ABCの面積Sを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、チェバの定理を用いてAP:PCを求める。

チェバの定理より、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BN}{NC} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

問題文より、$AM:MB = 1:2$, $BN:NC = 3:2$だから、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{CP}{PA} = 1$

$\frac{CP}{PA} = \frac{4}{3}$

したがって、$AP:PC = 3:4$

次に、メネラウスの定理を用いてAO:ONを求める。

三角形ABNにおいて、直線CMについてメネラウスの定理より、

$\frac{AM}{MB} \cdot \frac{BC}{CN} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$

問題文より、$AM:MB = 1:2$, $BC:CN = 5:2$だから、

$\frac{1}{2} \cdot \frac{5}{2} \cdot \frac{NO}{OA} = 1$

$\frac{NO}{OA} = \frac{4}{5}$

したがって、$AO:ON = 5:4$

三角形ABCの面積をSとすると、三角形AOPの面積は、

$S_{\triangle AOP} = \frac{AP}{AC} \cdot \frac{AO}{AN} \cdot S_{\triangle ANC} = \frac{AP}{AC} \cdot \frac{AO}{AN} \cdot \frac{NC}{BC} \cdot S_{\triangle ABC}$

$S_{\triangle AOP} = \frac{3}{7} \cdot \frac{5}{9} \cdot \frac{2}{5} \cdot S = \frac{2}{21} S$

$S_{\triangle AOP} = 1$ より、

$\frac{2}{21} S = 1$

$S = \frac{21}{2}$

3. 最終的な答え

三角形ABCの面積は $\frac{21}{2}$