三角形ABCがあり、$AB = 7\sqrt{3}$ かつ $\angle ACB = 60^\circ$ である。この三角形の外接円Oの半径を求める。次に、点Cを含む弧AB上で点Pを動かすとき、以下の2つの問いに答える。 (1) $2PA = 3PB$ となるようなPAの値を求める。 (2) 三角形PABの面積が最大となるようなPAの値を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCがあり、$AB = 7\sqrt{3}$ かつ $\angle ACB = 60^\circ$ である。この三角形の外接円Oの半径を求める。次に、点Cを含む弧AB上で点Pを動かすとき、以下の2つの問いに答える。

(1) $2PA = 3PB$ となるようなPAの値を求める。

(2) 三角形PABの面積が最大となるようなPAの値を求める。

2. 解き方の手順

(ア) $\triangle ABC$ の外接円の半径Rを求める。正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin{\angle ACB}} = 2R$

$AB = 7\sqrt{3}$ および $\angle ACB = 60^\circ$ を代入すると、

$\frac{7\sqrt{3}}{\sin{60^\circ}} = 2R$

$\sin{60^\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ であるから、

$\frac{7\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$

$14 = 2R$

$R = 7$

したがって、外接円の半径は7である。

(1) $2PA = 3PB$ となるようなPAの値を求める。

余弦定理を用いて、$PA^2 + PB^2 - 2PA \cdot PB \cos{\angle APB} = AB^2$

$\angle APB = \angle ACB = 60^\circ$ (円周角の定理)

$PA = x$ とおくと、$PB = \frac{2}{3}x$

$x^2 + (\frac{2}{3}x)^2 - 2x \cdot \frac{2}{3}x \cdot \cos{60^\circ} = (7\sqrt{3})^2$

$x^2 + \frac{4}{9}x^2 - \frac{4}{3}x^2 \cdot \frac{1}{2} = 147$

$x^2 + \frac{4}{9}x^2 - \frac{2}{3}x^2 = 147$

$9x^2 + 4x^2 - 6x^2 = 147 \cdot 9$

$7x^2 = 147 \cdot 9$

$x^2 = 21 \cdot 9 = 189$

$x = \sqrt{189} = \sqrt{9 \cdot 21} = 3\sqrt{21}$

したがって、$PA = 3\sqrt{21}$

(2) $\triangle PAB$ の面積が最大となるのは、点Pが弧ABの中点にあるときである。このとき、PからABへの垂線を下ろすと、垂線の足はABの中点となる。$\triangle PAB$ の面積は、$S = \frac{1}{2} AB \cdot h$ であり、ABは固定なので、高さを最大にするにはPがABの中点となれば良い。

このとき、$\angle PAB = \angle PBA = (180^\circ - 60^\circ)/2 = 60^\circ$ なので、$\triangle PAB$ は正三角形となる。

したがって、$PA = AB = 7\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

ア: 7

イ: 3

ウエ: 21

オ: 7

カ: 3