点 $F(4, 0)$ からの距離と、直線 $x = 1$ からの距離の比が $2:1$ である点 $P$ の軌跡が、$F$ を焦点の1つとする双曲線であることを示す。

1. 問題の内容

点 $F(4, 0)$ からの距離と、直線 $x = 1$ からの距離の比が $2:1$ である点 $P$ の軌跡が、$F$ を焦点の1つとする双曲線であることを示す。

2. 解き方の手順

点 $P$ の座標を $(x, y)$ とする。点 $F(4, 0)$ から点 $P(x, y)$ までの距離は、

$\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - 4)^2 + y^2}$

直線 $x = 1$ から点 $P(x, y)$ までの距離は、$|x - 1|$ である。問題文より、

$\sqrt{(x - 4)^2 + y^2} : |x - 1| = 2 : 1$

したがって、

$\sqrt{(x - 4)^2 + y^2} = 2 |x - 1|$

両辺を2乗すると、

$(x - 4)^2 + y^2 = 4 (x - 1)^2$

$x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4 (x^2 - 2x + 1)$

$x^2 - 8x + 16 + y^2 = 4x^2 - 8x + 4$

$3x^2 - y^2 = 12$

$\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$

これは双曲線の方程式である。焦点の座標は$(\pm \sqrt{a^2 + b^2}, 0)$ で与えられ、この場合、$a^2 = 4$, $b^2 = 12$ であるから、$c = \sqrt{4 + 12} = \sqrt{16} = 4$ となる。したがって、焦点の座標は $(\pm 4, 0)$ である。点 $F(4, 0)$ はこの双曲線の焦点の一つである。

3. 最終的な答え

点Pの軌跡は、方程式 $\frac{x^2}{4} - \frac{y^2}{12} = 1$ で表される双曲線であり、点 $F(4, 0)$ はこの双曲線の焦点の一つである。