$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$, $OA = 2$, $OB = 3$ である $\triangle OAB$ において、垂心を $H$, 重心を $G$ とするとき、線分 $HG$ の長さを求めよ。

1. 問題の内容

$\angle AOB = \frac{\pi}{3}$, $OA = 2$, $OB = 3$ である $\triangle OAB$ において、垂心を $H$, 重心を $G$ とするとき、線分 $HG$ の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{OA}=\vec{a}, \vec{OB}=\vec{b}$ とおくと、$\vec{OG} = \frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{0}}{3} = \frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$ である。

次に、$\vec{OH}$ を求める。

$\vec{AH} \perp \vec{OB}$ より、$\vec{AH} \cdot \vec{OB} = 0$

$\vec{OH} = s\vec{a} + t\vec{b}$ とおくと、

$(\vec{OH}-\vec{OA}) \cdot \vec{OB} = 0$

$(s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$

$s(\vec{a} \cdot \vec{b})+t|\vec{b}|^2 - \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$|\vec{a}|=2, |\vec{b}|=3, \angle AOB = \frac{\pi}{3}$ より、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos{\frac{\pi}{3}} = 2 \cdot 3 \cdot \frac{1}{2} = 3$

$3s+9t-3=0$

$s+3t=1$

$\vec{BH} \perp \vec{OA}$ より、$\vec{BH} \cdot \vec{OA} = 0$

$(\vec{OH}-\vec{OB}) \cdot \vec{OA} = 0$

$(s\vec{a}+t\vec{b}-\vec{b}) \cdot \vec{a} = 0$

$s|\vec{a}|^2+t(\vec{a} \cdot \vec{b}) - \vec{b} \cdot \vec{a} = 0$

$4s+3t-3=0$

$s+3t=1$

$4s+3t=3$

上の式から下の式を引くと、$-3s = -2$ より $s = \frac{2}{3}$

$s+3t=1$ に代入して、$\frac{2}{3}+3t=1$ より $3t = \frac{1}{3}$, $t = \frac{1}{9}$

$\vec{OH} = \frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{9}\vec{b}$

$\vec{HG} = \vec{OG} - \vec{OH} = (\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}) - (\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{9}\vec{b}) = -\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{9}\vec{b}$

$|\vec{HG}|^2 = |-\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{2}{9}\vec{b}|^2 = \frac{1}{9}|\vec{a}|^2-\frac{4}{27}\vec{a} \cdot \vec{b}+\frac{4}{81}|\vec{b}|^2 = \frac{1}{9} \cdot 4 - \frac{4}{27} \cdot 3 + \frac{4}{81} \cdot 9 = \frac{4}{9} - \frac{4}{9} + \frac{4}{9} = \frac{4}{9}$

$|\vec{HG}| = \sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{3}$