$\triangle OAB$ において、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とおく。$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} + 2\vec{b}| = 3$ のとき、以下の問いに答えよ。 (1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。 (2) $\triangle OAB$ の面積 $S$ を $\vec{a}, \vec{b}$ の式で表せ。なお、答えだけでなく証明もせよ。 (3) 面積 $S$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、$\vec{OA} = \vec{a}$, $\vec{OB} = \vec{b}$ とおく。$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $|\vec{a} + 2\vec{b}| = 3$ のとき、以下の問いに答えよ。

(1) 内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の値を求めよ。

(2) $\triangle OAB$ の面積 $S$ を $\vec{a}, \vec{b}$ の式で表せ。なお、答えだけでなく証明もせよ。

(3) 面積 $S$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 内積を求める。

$|\vec{a} + 2\vec{b}|^2 = (\vec{a} + 2\vec{b}) \cdot (\vec{a} + 2\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4|\vec{b}|^2$

与えられた条件より、$|\vec{a} + 2\vec{b}| = 3$, $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$ なので、

$3^2 = 3^2 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 4 \cdot 2^2$

$9 = 9 + 4\vec{a} \cdot \vec{b} + 16$

$4\vec{a} \cdot \vec{b} = -16$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$

(2) 面積を $\vec{a}, \vec{b}$ の式で表す。

$\triangle OAB$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$ で与えられる。

証明：

$S = \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta}$ （ここで $\theta$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角）

$\sin^2{\theta} + \cos^2{\theta} = 1$ より、$\sin{\theta} = \sqrt{1 - \cos^2{\theta}}$

また、$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ より、$\cos{\theta} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

よって、$\sin{\theta} = \sqrt{1 - \frac{(\vec{a} \cdot \vec{b})^2}{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2}} = \frac{\sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$

したがって、$S = \frac{1}{2} |\vec{a}| |\vec{b}| \sin{\theta} = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$

(3) 面積 $S$ を求める。

$|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$ を代入して、

$S = \frac{1}{2} \sqrt{3^2 \cdot 2^2 - (-4)^2} = \frac{1}{2} \sqrt{9 \cdot 4 - 16} = \frac{1}{2} \sqrt{36 - 16} = \frac{1}{2} \sqrt{20} = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{5} = \sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{a} \cdot \vec{b} = -4$

(2) $S = \frac{1}{2} \sqrt{|\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2}$

(3) $S = \sqrt{5}$