双曲線の方程式を求める問題です。以下の2つの条件を満たす双曲線の方程式をそれぞれ求めます。 (1) 2つの焦点が $(7, 0)$, $(-7, 0)$ であり、2つの焦点からの距離の差が6である。 (2) 2つの焦点が $(0, \sqrt{6})$, $(0, -\sqrt{6})$ であり、漸近線が直交する。

1. 問題の内容

双曲線の方程式を求める問題です。以下の2つの条件を満たす双曲線の方程式をそれぞれ求めます。

(1) 2つの焦点が $(7, 0)$, $(-7, 0)$ であり、2つの焦点からの距離の差が6である。

(2) 2つの焦点が $(0, \sqrt{6})$, $(0, -\sqrt{6})$ であり、漸近線が直交する。

2. 解き方の手順

(1) の場合：

焦点が $(7, 0)$ と $(-7, 0)$ なので、双曲線の中心は原点にあり、焦点はx軸上にあります。

双曲線の標準形は $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ となります。

焦点間の距離は $2c$ であり、$c = 7$ です。

2つの焦点からの距離の差は $2a$ であり、$2a = 6$ より、$a = 3$ です。

双曲線の方程式の係数の間には $a^2 + b^2 = c^2$ の関係があります。

$3^2 + b^2 = 7^2$ より、$9 + b^2 = 49$ なので、$b^2 = 40$ です。

したがって、双曲線の方程式は $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{40} = 1$ となります。

(2) の場合：

焦点が $(0, \sqrt{6})$ と $(0, -\sqrt{6})$ なので、双曲線の中心は原点にあり、焦点はy軸上にあります。

双曲線の標準形は $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = -1$ となります。

焦点間の距離は $2c$ であり、$c = \sqrt{6}$ です。

漸近線が直交するという条件から、$a = b$ であることがわかります。

双曲線の方程式の係数の間には $a^2 + b^2 = c^2$ の関係があります。

$a^2 + a^2 = (\sqrt{6})^2$ より、$2a^2 = 6$ なので、$a^2 = 3$ です。したがって、$b^2=3$

したがって、双曲線の方程式は $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{3} = -1$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{40} = 1$

(2) $\frac{x^2}{3} - \frac{y^2}{3} = -1$