平行四辺形ABCDにおいて、AB=3, AD=4, ∠BAD=2π/3である。辺AEを2:1に内分する点をE、辺ACを2:5に内分する点をF、辺ADを1:1に内分する点をGとする。 (1) ベクトル$\overrightarrow{EF}$をベクトル$\overrightarrow{EG}$で表せ。 (2) 内積$\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{EG}$の値を求めよ。 (3) 辺EGの長さを求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、AB=3, AD=4, ∠BAD=2π/3である。辺AEを2:1に内分する点をE、辺ACを2:5に内分する点をF、辺ADを1:1に内分する点をGとする。

(1) ベクトル$\overrightarrow{EF}$をベクトル$\overrightarrow{EG}$で表せ。

(2) 内積$\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{EG}$の値を求めよ。

(3) 辺EGの長さを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{EF}$を$\overrightarrow{EG}$で表す。

$\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{b}, \overrightarrow{AD} = \overrightarrow{d}$とおく。

$\overrightarrow{AE} = \frac{2}{3} \overrightarrow{AB} = \frac{2}{3} \overrightarrow{b}$

$\overrightarrow{AF} = \frac{2}{7} \overrightarrow{AC} = \frac{2}{7} (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD}) = \frac{2}{7} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d})$

$\overrightarrow{AG} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = \frac{2}{7} (\overrightarrow{b} + \overrightarrow{d}) - \frac{2}{3} \overrightarrow{b} = (\frac{2}{7} - \frac{2}{3}) \overrightarrow{b} + \frac{2}{7} \overrightarrow{d} = -\frac{8}{21} \overrightarrow{b} + \frac{2}{7} \overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{EG} = \overrightarrow{AG} - \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{d} - \frac{2}{3} \overrightarrow{b} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{d}$

$\overrightarrow{EF} = k \overrightarrow{EG}$とおくと、

$-\frac{8}{21} \overrightarrow{b} + \frac{2}{7} \overrightarrow{d} = k(-\frac{2}{3} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{d})$

$\overrightarrow{b}, \overrightarrow{d}$は一次独立なので、

$-\frac{8}{21} = -\frac{2}{3} k$かつ$\frac{2}{7} = \frac{1}{2} k$

$k = \frac{8}{21} \cdot \frac{3}{2} = \frac{4}{7}$, $k = \frac{2}{7} \cdot 2 = \frac{4}{7}$

よって、$\overrightarrow{EF} = \frac{4}{7} \overrightarrow{EG}$

(2) 内積$\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{EG}$を求める。

$\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{EG} = \frac{4}{7} \overrightarrow{EG} \cdot \overrightarrow{EG} = \frac{4}{7} |\overrightarrow{EG}|^2$

$\overrightarrow{EG} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{d}$

$|\overrightarrow{EG}|^2 = (-\frac{2}{3} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{d}) \cdot (-\frac{2}{3} \overrightarrow{b} + \frac{1}{2} \overrightarrow{d}) = \frac{4}{9} |\overrightarrow{b}|^2 - \frac{2}{3} \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} + \frac{1}{4} |\overrightarrow{d}|^2$

$|\overrightarrow{b}| = 3, |\overrightarrow{d}| = 4, \overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d} = |\overrightarrow{b}| |\overrightarrow{d}| \cos{\frac{2}{3} \pi} = 3 \cdot 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -6$

$|\overrightarrow{EG}|^2 = \frac{4}{9} \cdot 9 - \frac{2}{3} \cdot (-6) + \frac{1}{4} \cdot 16 = 4 + 4 + 4 = 12$

$\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{EG} = \frac{4}{7} \cdot 12 = \frac{48}{7}$

(3) 辺EGの長さを求める。

$|\overrightarrow{EG}| = \sqrt{12} = 2 \sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{EF} = \frac{4}{7} \overrightarrow{EG}$

(2) $\overrightarrow{EF} \cdot \overrightarrow{EG} = \frac{48}{7}$

(3) $|\overrightarrow{EG}| = 2\sqrt{3}$