双曲線 $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$ の頂点、焦点、および漸近線を求め、その概形を描く問題です。

1. 問題の内容

双曲線 $\frac{x^2}{25} - \frac{y^2}{9} = 1$ の頂点、焦点、および漸近線を求め、その概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

* 双曲線の標準形は $\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1$ です。与えられた双曲線と比べると、$a^2 = 25$、 $b^2 = 9$ であることがわかります。したがって、$a = 5$、$b = 3$です。

* 頂点は $(\pm a, 0)$ で与えられます。よって、頂点は $(5, 0)$ と $(-5, 0)$ です。

* 焦点は $(\pm c, 0)$ で与えられます。ここで、$c$ は $c^2 = a^2 + b^2$ を満たします。したがって、$c^2 = 25 + 9 = 34$ となり、$c = \sqrt{34}$ です。よって、焦点は $(\sqrt{34}, 0)$ と $(-\sqrt{34}, 0)$ です。

* 漸近線は $y = \pm \frac{b}{a}x$ で与えられます。したがって、漸近線は $y = \frac{3}{5}x$ と $y = -\frac{3}{5}x$ です。

3. 最終的な答え

* 頂点: $(5, 0)$, $(-5, 0)$

* 焦点: $(\sqrt{34}, 0)$, $(-\sqrt{34}, 0)$

* 漸近線: $y = \frac{3}{5}x$, $y = -\frac{3}{5}x$