次の2つの球の方程式を求めます。 (1) 中心が $(1, -3, -1)$ で、点 $(2, -5, 1)$ を通る球 (2) 2点 $(-2, 6, 3)$、$(2, -2, -1)$ を直径の両端とする球

1. 問題の内容

次の2つの球の方程式を求めます。

(1) 中心が $(1, -3, -1)$ で、点 $(2, -5, 1)$ を通る球

(2) 2点 $(-2, 6, 3)$、$(2, -2, -1)$ を直径の両端とする球

2. 解き方の手順

(1) 中心が $(1, -3, -1)$ で、点 $(2, -5, 1)$ を通る球の方程式を求めます。

球の方程式は、中心 $(a, b, c)$、半径 $r$ とすると、

$(x - a)^2 + (y - b)^2 + (z - c)^2 = r^2$

で表されます。

中心は $(1, -3, -1)$ なので、球の方程式は

$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 + (z + 1)^2 = r^2$

点 $(2, -5, 1)$ を通るので、この点を代入して $r^2$ を求めます。

$(2 - 1)^2 + (-5 + 3)^2 + (1 + 1)^2 = r^2$

$1^2 + (-2)^2 + 2^2 = r^2$

$1 + 4 + 4 = r^2$

$r^2 = 9$

したがって、球の方程式は

$(x - 1)^2 + (y + 3)^2 + (z + 1)^2 = 9$

(2) 2点 $(-2, 6, 3)$、$(2, -2, -1)$ を直径の両端とする球の方程式を求めます。

まず、中心を求めます。中心は2点の中点なので、

$\left( \frac{-2 + 2}{2}, \frac{6 + (-2)}{2}, \frac{3 + (-1)}{2} \right) = \left( \frac{0}{2}, \frac{4}{2}, \frac{2}{2} \right) = (0, 2, 1)$

次に、半径を求めます。半径は中心と端点の距離なので、中心 $(0, 2, 1)$ と点 $(2, -2, -1)$ の距離を計算します。

$r = \sqrt{(2 - 0)^2 + (-2 - 2)^2 + (-1 - 1)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24}$

よって、$r^2 = 24$

したがって、球の方程式は

$(x - 0)^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 24$

$x^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 24$

3. 最終的な答え

(1) $(x - 1)^2 + (y + 3)^2 + (z + 1)^2 = 9$

(2) $x^2 + (y - 2)^2 + (z - 1)^2 = 24$