正六角形について、次の数を求める問題です。 (1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数 (2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数 (3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数 (4) 対角線の本数

1. 問題の内容

正六角形について、次の数を求める問題です。

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

(3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

(4) 対角線の本数

2. 解き方の手順

(1) 3個の頂点を結んでできる三角形の個数

正六角形の6個の頂点から3個を選ぶ組み合わせを考えます。これは組み合わせの公式 $_{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ を使って計算できます。

$_{6}C_{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

したがって、三角形は20個作れます。

(2) 4個の頂点を結んでできる四角形の個数

正六角形の6個の頂点から4個を選ぶ組み合わせを考えます。

$_{6}C_{4} = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、四角形は15個作れます。

(3) 2個の頂点を結ぶ線分の本数

正六角形の6個の頂点から2個を選ぶ組み合わせを考えます。

$_{6}C_{2} = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

したがって、線分の本数は15本です。

(4) 対角線の本数

正六角形の頂点の数は6です。対角線の本数は、全ての線分の本数から辺の本数を引けば求められます。

全ての線分の本数は(3)より15本です。

正六角形の辺の数は6本です。

対角線の本数 = 全ての線分の本数 - 辺の数 = 15 - 6 = 9

または、対角線の本数を直接計算する公式 $\frac{n(n-3)}{2}$ を使います。

$\frac{6(6-3)}{2} = \frac{6 \times 3}{2} = \frac{18}{2} = 9$

したがって、対角線の本数は9本です。

3. 最終的な答え

(1) 20個

(2) 15個

(3) 15本

(4) 9本