練習31の問題です。右の図のような道のある地域で、A地点からB地点まで最短経路で移動する場合について、以下の3つの場合について経路の数を求めます。 (1) AからBまで行く場合 (2) AからCを通ってBまで行く場合 (3) AからCを通らずにBまで行く場合

1. 問題の内容

練習31の問題です。右の図のような道のある地域で、A地点からB地点まで最短経路で移動する場合について、以下の3つの場合について経路の数を求めます。

(1) AからBまで行く場合

(2) AからCを通ってBまで行く場合

(3) AからCを通らずにBまで行く場合

2. 解き方の手順

まず、AからBまで行く最短経路の総数を求めます。

AからBまでは、右に4回、上に3回移動する必要があります。

したがって、7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせの数が、最短経路の総数となります。

これは、組み合わせの公式で計算できます。

(1) AからBまで行く場合

AからBまでの最短経路の総数は、7回の移動のうち、右への移動を4回選ぶ組み合わせで計算できます。

これは $\binom{7}{4}$ で表され、

$\binom{7}{4} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ となります。

(2) AからCを通ってBまで行く場合

AからCまでは、右に2回、上に1回移動する必要があります。

AからCまでの最短経路の総数は $\binom{3}{2}$ で計算できます。

$\binom{3}{2} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

CからBまでは、右に2回、上に2回移動する必要があります。

CからBまでの最短経路の総数は $\binom{4}{2}$ で計算できます。

$\binom{4}{2} = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$

したがって、AからCを通ってBまで行く最短経路の総数は $3 \times 6 = 18$ となります。

(3) AからCを通らずにBまで行く場合

AからBまで行く経路の総数から、AからCを通ってBまで行く経路の総数を引けば、AからCを通らずにBまで行く経路の総数が求められます。

$35 - 18 = 17$

3. 最終的な答え

(1) AからBまで行く場合の最短経路の数: 35通り

(2) AからCを通ってBまで行く場合の最短経路の数: 18通り

(3) AからCを通らずにBまで行く場合の最短経路の数: 17通り