複素数平面上に点P, Q, Rがあり、それぞれ複素数$z_1, z_2, z_3$で表される。 (1) P, Q, Rが一直線上にあり、かつQが線分PRを2:1に内分するとき、$\frac{z_3 - z_2}{z_1 - z_2}$の値を求める。 (2) $\triangle PQR$において、$PQ:QR:RP = 3:4:5$のとき、$\frac{z_3 - z_2}{z_1 - z_2}$の値を求める。

1. 問題の内容

複素数平面上に点P, Q, Rがあり、それぞれ複素数$z_1, z_2, z_3$で表される。

(1) P, Q, Rが一直線上にあり、かつQが線分PRを2:1に内分するとき、$\frac{z_3 - z_2}{z_1 - z_2}$の値を求める。

(2) $\triangle PQR$において、$PQ:QR:RP = 3:4:5$のとき、$\frac{z_3 - z_2}{z_1 - z_2}$の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) Qが線分PRを2:1に内分するので、

$z_2 = \frac{1 \cdot z_3 + 2 \cdot z_1}{2 + 1}$

$z_2 = \frac{z_3 + 2z_1}{3}$

$3z_2 = z_3 + 2z_1$

$z_3 - z_2 = 3z_2 - 2z_1 - z_2 = 2z_2 - 2z_1 = -2(z_1 - z_2)$

したがって、

$\frac{z_3 - z_2}{z_1 - z_2} = \frac{-2(z_1 - z_2)}{z_1 - z_2} = -2$

(2) $PQ:QR:RP = 3:4:5$であるから、$\triangle PQR$は直角三角形で、$\angle PQR = 90^{\circ}$である。

$\frac{z_3 - z_2}{z_1 - z_2} = \pm i\frac{PQ}{QR} = \pm i\frac{3}{4} = \pm \frac{3}{4}i$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{z_3 - z_2}{z_1 - z_2} = -2$

(2) $\frac{z_3 - z_2}{z_1 - z_2} = \pm \frac{3}{4}i$