三角形ABCにおいて、$\frac{2}{\sin A} = \frac{3}{\sin B} = \frac{4}{\sin C}$ が成り立つとき、$\cos A$, $\sin A$, $\tan A$ の値をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$\frac{2}{\sin A} = \frac{3}{\sin B} = \frac{4}{\sin C}$ が成り立つとき、$\cos A$, $\sin A$, $\tan A$ の値をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理より、$a:b:c = \sin A : \sin B : \sin C$ が成り立つ。

与えられた条件 $\frac{2}{\sin A} = \frac{3}{\sin B} = \frac{4}{\sin C}$ より、$\sin A = \frac{2}{k}$, $\sin B = \frac{3}{k}$, $\sin C = \frac{4}{k}$ となる。（$k$は定数）

よって、$a:b:c = \frac{2}{k} : \frac{3}{k} : \frac{4}{k} = 2:3:4$ となる。

したがって、$a=2l$, $b=3l$, $c=4l$ と置ける。（$l$は定数）

余弦定理より、

$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{(3l)^2 + (4l)^2 - (2l)^2}{2(3l)(4l)} = \frac{9l^2 + 16l^2 - 4l^2}{24l^2} = \frac{21l^2}{24l^2} = \frac{7}{8}$

$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$ より、

$\sin^2 A = 1 - \cos^2 A = 1 - (\frac{7}{8})^2 = 1 - \frac{49}{64} = \frac{64-49}{64} = \frac{15}{64}$

$\sin A > 0$ より、$\sin A = \sqrt{\frac{15}{64}} = \frac{\sqrt{15}}{8}$

$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{\frac{\sqrt{15}}{8}}{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{15}}{7}$

3. 最終的な答え

$\cos A = \frac{7}{8}$

$\sin A = \frac{\sqrt{15}}{8}$

$\tan A = \frac{\sqrt{15}}{7}$