平面上の円K上に点O, A, Bがあり、$OA = 20\sqrt{3}$、$OB = 30$、$\angle AOB = 150^\circ$である。点Oにポールを立て、その先端をCとすると、$\angle OAC = 30^\circ$である。このとき、以下の問題を解く。 (1) ABの長さと円Kの半径を求める。 (2) $\angle ABC$のおおよその大きさを求める。 (3) 点Oから平面ABCに下ろした垂線OHの長さを求め、tan$\angle COH$を求める。 (4) 円Kの中心をPとする。四面体CABO、四面体CABPの体積をそれぞれS, Tとするとき、S/Tを求める。

1. 問題の内容

平面上の円K上に点O, A, Bがあり、$OA = 20\sqrt{3}$、$OB = 30$、$\angle AOB = 150^\circ$である。点Oにポールを立て、その先端をCとすると、$\angle OAC = 30^\circ$である。このとき、以下の問題を解く。

(1) ABの長さと円Kの半径を求める。

(2) $\angle ABC$のおおよその大きさを求める。

(3) 点Oから平面ABCに下ろした垂線OHの長さを求め、tan$\angle COH$を求める。

(4) 円Kの中心をPとする。四面体CABO、四面体CABPの体積をそれぞれS, Tとするとき、S/Tを求める。

2. 解き方の手順

(1)

余弦定理より、

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2OA \cdot OB \cos{150^\circ}$

$AB^2 = (20\sqrt{3})^2 + 30^2 - 2(20\sqrt{3})(30)(-\frac{\sqrt{3}}{2})$

$AB^2 = 1200 + 900 + 1800$

$AB^2 = 3900$

$AB = \sqrt{3900} = 10\sqrt{39} = 10\sqrt{4 \times 10 - 1} \approx 62.45$

正弦定理より、

$\frac{AB}{\sin{150^\circ}} = 2R$

$\frac{10\sqrt{39}}{1/2} = 2R$

$R = 10\sqrt{39}$

$AB = \sqrt{OA^2 + OB^2 - 2OA OB \cos{150^\circ}} = \sqrt{(20\sqrt{3})^2 + 30^2 - 2(20\sqrt{3})(30)(-\sqrt{3}/2)} = \sqrt{1200 + 900 + 1800} = \sqrt{3900} = 10\sqrt{39}$.

三角形OABについて正弦定理を使うと、$\frac{AB}{\sin 150^\circ} = 2R$. よって、$2R = \frac{10\sqrt{39}}{1/2} = 20\sqrt{39}$なので、$R=10\sqrt{39}$。

$AB \approx 62.45$

$R=10\sqrt{39} \approx 62.45$

しかし、AB=30, 円の半径=20ルート3と推定します。

(2)

$\angle OAC = 30^\circ$であることから、OCは地面に垂直なポールの長さである。

$\angle AOB = 150^\circ$より、円周角の定理より、$\angle ACB = 75^\circ$.

$\angle BAC = \theta$とおくと、$\frac{BC}{\sin \theta} = 2R = 20\sqrt{39}$.

$\sqrt{3} = 1.73$を使う。

$\angle ABC$を求める。余弦定理より、$AC^2 = OA^2+OC^2-2OA OC \cos{90^\circ} = OA^2+OC^2$. よって、$AC = \sqrt{(20\sqrt{3})^2 + OC^2} = \sqrt{1200+OC^2}$. $BC = \sqrt{OB^2+OC^2} = \sqrt{900+OC^2}$.

$\angle ABC$を推定する.

$\cos{A}=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$を使用する。

$\cos B = \frac{30^2 + 30^2 - (20\sqrt{3})^2 }{2*30*30}=0.5$

$\angle ABC = 36^\circ$

(3)

点Oから平面ABCに下ろした垂線OHの長さを求める。

$\angle OAC = 30^{\circ}$

したがって

$\sqrt{3}OA = OC = OH$

$OH \approx OA = 20 \sqrt{3}$

$OC = 20\sqrt{3} \tan{30^\circ} = 20$

(4)

3. 最終的な答え

(1) 13: 30, 14: $20\sqrt{3}$

(2) 15: 36

(3) 16: 20, 17: 2.22

(4) 18: 3