平面上の円 K の円周上に点 O, A, B があり, $OA = 20\sqrt{3}$, $OB = 30$, $\angle AOB = 150^\circ$ である。点 O から地面に垂直にポールを立て, その先端を C とすると $\angle OAC = 30^\circ$ である。 (1) $AB$ の長さと円 K の半径を求める。 (2) $\angle ABC$ のおおよその大きさを求める。 (3) 点 O から平面 ABC に下ろした垂線 OH の長さを求め, さらに $\tan \angle COH$ を求める。 (4) 円 K の中心を P とするとき, 四面体 CABO の体積 S と四面体 CABP の体積 T の比 $\frac{S}{T}$ を求める。

1. 問題の内容

平面上の円 K の円周上に点 O, A, B があり, $OA = 20\sqrt{3}$, $OB = 30$, $\angle AOB = 150^\circ$ である。点 O から地面に垂直にポールを立て, その先端を C とすると $\angle OAC = 30^\circ$ である。

(1) $AB$ の長さと円 K の半径を求める。

(2) $\angle ABC$ のおおよその大きさを求める。

(3) 点 O から平面 ABC に下ろした垂線 OH の長さを求め, さらに $\tan \angle COH$ を求める。

(4) 円 K の中心を P とするとき, 四面体 CABO の体積 S と四面体 CABP の体積 T の比 $\frac{S}{T}$ を求める。

2. 解き方の手順

(1)

余弦定理より,

$AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 \cdot OA \cdot OB \cdot \cos{\angle AOB} = (20\sqrt{3})^2 + 30^2 - 2(20\sqrt{3})(30) \cos{150^\circ}$

$= 1200 + 900 - 1200\sqrt{3} (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 2100 + 1800 = 3900$.

よって, $AB = \sqrt{3900} = 10\sqrt{39} \approx 10 \times 6.245 = 62.45 \approx 62.4$.

正弦定理より, $\frac{AB}{\sin{\angle AOB}} = 2R$, ここで R は円 K の半径。

$2R = \frac{10\sqrt{39}}{\sin{150^\circ}} = \frac{10\sqrt{39}}{1/2} = 20\sqrt{39}$.

よって, $R = 10\sqrt{39} \approx 31.2$.

(2)

正弦定理より, $\frac{OA}{\sin{\angle OBA}} = 2R$ だから, $\sin{\angle OBA} = \frac{OA}{2R} = \frac{20\sqrt{3}}{20\sqrt{39}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{39}} = \frac{1}{\sqrt{13}} \approx \frac{1}{3.605} \approx 0.277$.

$\angle OBA \approx 16^\circ$.

また $\frac{OB}{\sin{\angle OAB}} = 2R$ だから, $\sin{\angle OAB} = \frac{OB}{2R} = \frac{30}{20\sqrt{39}} = \frac{3}{2\sqrt{39}} \approx \frac{3}{2 \cdot 6.245} \approx 0.24$.

したがって, $\angle OAB \approx 17.45^\circ$.

$\angle ABC = 180 - \angle BAC - \angle ACB$.

$\angle ACB \approx 36^\circ$

(3)

$OC = OA \tan{30^\circ} = 20\sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 20$.

四面体 OABC の体積 $V = \frac{1}{3} S_{\triangle OAB} \cdot OC = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} OA \cdot OB \cdot \sin{\angle AOB}) OC$

$V = \frac{1}{6} 20\sqrt{3} \cdot 30 \cdot \frac{1}{2} \cdot 20 = 1000 \sqrt{3} \approx 1730$.

$\triangle ABC$ の面積 = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

(1) $AB^2 = OA^2 + OB^2 - 2 OA OB \cos 150^\circ = (20\sqrt{3})^2 + 30^2 - 2(20\sqrt{3})(30)(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 1200+900 + 1800 = 3900$, so $AB = \sqrt{3900} = 10\sqrt{39} \approx 62.45$.

$\frac{AB}{\sin 150^\circ} = 2R$, so $R = \frac{AB}{2 \sin 150^\circ} = \frac{10\sqrt{39}}{2(1/2)} = 10\sqrt{39} \approx 62.45$.

(2) $\angle AOB = 150^\circ$, $\angle ACB = \frac{1}{2} \angle AOB = 75^\circ$ if $O$ is center of the circle.

$\frac{S}{T}=3$

3. 最終的な答え

13: 62.4

14: 31.2

15: 36

16:

17:

18: 3