平行四辺形ABCDにおいて、DCの延長線上に点FをCF=4cmとなるように取り、AFとBCの交点をEとする。 (1) BEの長さを求めよ。 (2) △ABEの面積は△FCEの面積の何倍か求めよ。

1. 問題の内容

平行四辺形ABCDにおいて、DCの延長線上に点FをCF=4cmとなるように取り、AFとBCの交点をEとする。

(1) BEの長さを求めよ。

(2) △ABEの面積は△FCEの面積の何倍か求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BEの長さを求める。

平行四辺形の性質より、AD//BCである。よって、△FCE∽△FAEである。

また、AB//CDなので、△FCE∽△ABEである。

CF=4cm、AB=CD=15cmなので、相似比は、

$FC:AB = 4:15$

よって、

$CE:BE = 4:15$

BC=AD=6cmなので、

$BE = \frac{15}{4+15}BC = \frac{15}{19} \times 6 = \frac{90}{19}$ cm

(2) △ABEの面積が△FCEの面積の何倍かを求める。

△FCE∽△ABEより、相似比は、

$FC:AB=4:15$

面積比は、相似比の二乗になるので、

$S_{\triangle FCE}:S_{\triangle ABE}=4^2:15^2=16:225$

よって、

$\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle FCE}} = \frac{225}{16}$

したがって、△ABEの面積は△FCEの面積の$\frac{225}{16}$倍である。

3. 最終的な答え

(1) BEの長さ：$\frac{90}{19}$ cm

(2) △ABEの面積は△FCEの面積の$\frac{225}{16}$倍