3点A, B, Cが与えられたとき、ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$が作る平行四辺形の面積を求める。

1. 問題の内容

3点A, B, Cが与えられたとき、ベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$が作る平行四辺形の面積を求める。

2. 解き方の手順

平行四辺形の面積は、2つのベクトル$\overrightarrow{AB}$と$\overrightarrow{AC}$の外積の絶対値で求められます。2次元ベクトルであれば、$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = |(B_x - A_x)(C_y - A_y) - (B_y - A_y)(C_x - A_x)|$で計算できます。3次元ベクトルであれば$\overrightarrow{AB} = (B_x - A_x, B_y - A_y, B_z - A_z)$、$\overrightarrow{AC} = (C_x - A_x, C_y - A_y, C_z - A_z)$と表し、$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = ((B_y - A_y)(C_z - A_z) - (B_z - A_z)(C_y - A_y), (B_z - A_z)(C_x - A_x) - (B_x - A_x)(C_z - A_z), (B_x - A_x)(C_y - A_y) - (B_y - A_y)(C_x - A_x))$を計算し、その大きさ$|\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})_x^2 + (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})_y^2 + (\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC})_z^2}$が面積になります。

(1) A(2, 1), B(0, 2), C(1, 5)の場合:

$\overrightarrow{AB} = (0-2, 2-1) = (-2, 1)$

$\overrightarrow{AC} = (1-2, 5-1) = (-1, 4)$

面積 $= |(-2)(4) - (1)(-1)| = |-8 + 1| = |-7| = 7$

(2) A(-2, -5), B(-1, 2), C(3, 0)の場合:

$\overrightarrow{AB} = (-1 - (-2), 2 - (-5)) = (1, 7)$

$\overrightarrow{AC} = (3 - (-2), 0 - (-5)) = (5, 5)$

面積 $= |(1)(5) - (7)(5)| = |5 - 35| = |-30| = 30$

(3) A(0, -1, 2), B(2, -3, 1), C(3, -5, 0)の場合:

$\overrightarrow{AB} = (2-0, -3-(-1), 1-2) = (2, -2, -1)$

$\overrightarrow{AC} = (3-0, -5-(-1), 0-2) = (3, -4, -2)$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = ((-2)(-2) - (-1)(-4), (-1)(3) - (2)(-2), (2)(-4) - (-2)(3)) = (4-4, -3+4, -8+6) = (0, 1, -2)$

面積 $= \sqrt{0^2 + 1^2 + (-2)^2} = \sqrt{0+1+4} = \sqrt{5}$

(4) A(3, -1, 0), B(2, 3, 0), C(-3, 5, 0)の場合:

$\overrightarrow{AB} = (2-3, 3-(-1), 0-0) = (-1, 4, 0)$

$\overrightarrow{AC} = (-3-3, 5-(-1), 0-0) = (-6, 6, 0)$

$\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = ((4)(0) - (0)(6), (0)(-6) - (-1)(0), (-1)(6) - (4)(-6)) = (0, 0, -6+24) = (0, 0, 18)$

面積 $= \sqrt{0^2 + 0^2 + 18^2} = \sqrt{324} = 18$

3. 最終的な答え

(1) 7

(2) 30

(3) $\sqrt{5}$

(4) 18