複素平面上の点 $1+i$ を原点のまわりに反時計回りに $\frac{\pi}{6}$ だけ回転させた点の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

複素平面上の点 $1+i$ を原点のまわりに反時計回りに $\frac{\pi}{6}$ だけ回転させた点の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

複素数 $z$ を $\theta$ 回転させるには、$z$ に $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ をかければよいです。

与えられた複素数は $1 + i$ であり、回転角は $\frac{\pi}{6}$ です。したがって、$e^{i\frac{\pi}{6}} = \cos\frac{\pi}{6} + i\sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}$ となります。

$1+i$ を $\frac{\pi}{6}$ だけ回転させた複素数を $z'$ とすると、

$z' = (1+i)(\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2})$

$z' = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} + i^2\frac{1}{2}$

$i^2 = -1$ なので

$z' = \frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2} + i\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}$

$z' = (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) + i(\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

$z' = \frac{\sqrt{3}-1}{2} + i\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{\sqrt{3}-1}{2} + \frac{\sqrt{3}+1}{2}i$