問題は、$AC^2$の値を求める問題です。与えられた式は以下の通りです。 $AC^2 = (\sqrt{6})^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})$

1. 問題の内容

問題は、$AC^2$の値を求める問題です。与えられた式は以下の通りです。

$AC^2 = (\sqrt{6})^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})$

2. 解き方の手順

まず、各項を計算します。

$(\sqrt{6})^2 = 6$

$(1+\sqrt{3})^2 = 1 + 2\sqrt{3} + 3 = 4 + 2\sqrt{3}$

$2\sqrt{6}(1+\sqrt{3}) = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{18} = 2\sqrt{6} + 2\sqrt{9\times2} = 2\sqrt{6} + 2(3\sqrt{2}) = 2\sqrt{6} + 6\sqrt{2}$

次に、$AC^2$の式に代入します。

$AC^2 = 6 + (4 + 2\sqrt{3}) - (2\sqrt{6} + 6\sqrt{2}) = 6 + 4 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} - 6\sqrt{2} = 10 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} - 6\sqrt{2}$

式を整理します。

$AC^2 = 10 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} - 6\sqrt{2}$

与えられた式が$AC^2 = (\sqrt{6})^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot (1+\sqrt{3})$のとき、余弦定理の形をしています。つまり、$AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$の形です。

$AC^2 = (\sqrt{6})^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2 \cdot \sqrt{6} \cdot (1+\sqrt{3})$

ここで、$a = \sqrt{6}$, $b = 1+\sqrt{3}$、$C = \theta$とおくと、

$AC^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \theta$

この場合、$2ab \cos \theta = 2 \sqrt{6}(1+\sqrt{3})$なので、$\cos \theta = 1$となります。

$\cos \theta = 1$より、$\theta = 0$です。

余弦定理から

$AC^2 = (\sqrt{6})^2 + (1+\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{6}(1+\sqrt{3}) = (\sqrt{6} - (1+\sqrt{3}))^2$

$AC = |\sqrt{6} - (1+\sqrt{3})|$

$AC^2 = (\sqrt{6} - 1 - \sqrt{3})^2 = (\sqrt{6} - 1 - \sqrt{3})^2 = 6 + 1 + 3 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{18} = 10 - 2\sqrt{6} + 2\sqrt{3} - 6\sqrt{2}$

$AC^2 = 10 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} - 6\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$10 + 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} - 6\sqrt{2}$