平面上の3点(0, 0), (a, 1), (b, -2) が正三角形の頂点となるような正の実数 $a, b$ を求めます。

## 問題171 (1)

1. 問題の内容

平面上の3点(0, 0), (a, 1), (b, -2) が正三角形の頂点となるような正の実数 $a, b$ を求めます。

2. 解き方の手順

正三角形の性質として、すべての辺の長さが等しいことを利用します。

3点間の距離の公式を用いて、それぞれの辺の長さを求め、それらが等しいという式を立てます。

まず、点(0, 0)と(a, 1)の間の距離を求めます。

$\sqrt{(a-0)^2 + (1-0)^2} = \sqrt{a^2 + 1}$

次に、点(0, 0)と(b, -2)の間の距離を求めます。

$\sqrt{(b-0)^2 + (-2-0)^2} = \sqrt{b^2 + 4}$

最後に、点(a, 1)と(b, -2)の間の距離を求めます。

$\sqrt{(b-a)^2 + (-2-1)^2} = \sqrt{(b-a)^2 + 9}$

正三角形であるためには、上記の3つの距離がすべて等しくなければなりません。

したがって、次の2つの式が成り立ちます。

$\sqrt{a^2 + 1} = \sqrt{b^2 + 4}$

$\sqrt{a^2 + 1} = \sqrt{(b-a)^2 + 9}$

それぞれの式を2乗して整理します。

$a^2 + 1 = b^2 + 4$

$a^2 + 1 = (b-a)^2 + 9$

上記の式をさらに整理します。

$a^2 - b^2 = 3$

$a^2 - (b^2 - 2ab + a^2) = 8$

2つ目の式から、$2ab - b^2 = 8$ が得られます。

1つ目の式を因数分解すると、$(a-b)(a+b) = 3$ となります。

$a^2 - b^2 = 3$ より、$a^2 = b^2 + 3$。

$2ab - b^2 = 8$ より、$2ab = b^2 + 8$。

$4a^2b^2 = (b^2 + 8)^2$

$4(b^2+3)b^2 = (b^2 + 8)^2$

$4b^4+12b^2 = b^4 + 16b^2 + 64$

$3b^4 - 4b^2 - 64 = 0$

$b^2 = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 4*3*64}}{6} = \frac{4 \pm \sqrt{784}}{6} = \frac{4 \pm 28}{6}$

$b^2 = \frac{32}{6} = \frac{16}{3}$ or $b^2 = \frac{-24}{6} = -4$.

$b$は正の実数なので、$b = \sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

$a^2 = b^2 + 3 = \frac{16}{3} + 3 = \frac{16+9}{3} = \frac{25}{3}$

$a = \sqrt{\frac{25}{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{5\sqrt{3}}{3}$

3. 最終的な答え

$a = \frac{5\sqrt{3}}{3}$, $b = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

## 問題171 (2)

1. 問題の内容

座標平面上の3点P(1, 2), Q(3, -2), R(4, 1)を頂点とする平行四辺形のもう1つの頂点となりうる点の座標をすべて求めます。

2. 解き方の手順

平行四辺形において、向かい合う辺は平行で長さが等しいという性質を利用します。

P, Q, Rの3点を頂点とする平行四辺形は3種類考えられます。

それぞれの場合について、残りの頂点の座標を求めます。

(i) PQを1つの辺とする場合

このとき、PRまたはQRが別の辺になります。

(i-a) PQとPRを辺とする平行四辺形の場合、もう一つの頂点をSとすると、

$\overrightarrow{PS} = \overrightarrow{QR}$

$(x-1, y-2) = (4-3, 1-(-2)) = (1, 3)$

$x = 2, y = 5$ よってS(2, 5)

(i-b) PQとQRを辺とする平行四辺形の場合、もう一つの頂点をTとすると、

$\overrightarrow{PT} = \overrightarrow{RQ}$

$(x-1, y-2) = (3-4, -2-1) = (-1, -3)$

$x = 0, y = -1$ よってT(0, -1)

(ii) PRを1つの辺とする場合

このとき、PQまたはRQが別の辺になります。

(ii-a) PRとPQを辺とする平行四辺形の場合、もう一つの頂点はQからみたPの逆側にSがあるので、さきほど求めたS(2,5)になる。

(ii-b) PRとRQを辺とする平行四辺形の場合、もう一つの頂点をUとすると、

$\overrightarrow{PU} = \overrightarrow{QR}$

$\overrightarrow{RU} = \overrightarrow{QP}$

$(x-4, y-1) = (1-3, 2-(-2)) = (-2, 4)$

$x=2, y=5$。 さきほど求めたS(2,5)

平行四辺形の対角線の中点は一致するので、中点の座標を利用して残りの頂点を求めることもできます。

PQを対角線とする場合、中点は$(\frac{1+3}{2}, \frac{2-2}{2}) = (2, 0)$。Rを挟んで反対側の点をS(x, y)とすると、RSの中点も(2, 0)になるので、$(\frac{4+x}{2}, \frac{1+y}{2}) = (2, 0)$

$4+x = 4, 1+y = 0$より、$x = 0, y = -1$ よってS(0, -1)。

PRを対角線とする場合、中点は$(\frac{1+4}{2}, \frac{2+1}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$。Qを挟んで反対側の点をT(x, y)とすると、QTの中点も$(\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$になるので、$(\frac{3+x}{2}, \frac{-2+y}{2}) = (\frac{5}{2}, \frac{3}{2})$

$3+x = 5, -2+y = 3$より、$x = 2, y = 5$ よってT(2, 5)。

QRを対角線とする場合、中点は$(\frac{3+4}{2}, \frac{-2+1}{2}) = (\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$。Pを挟んで反対側の点をU(x, y)とすると、PUの中点も$(\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$になるので、$(\frac{1+x}{2}, \frac{2+y}{2}) = (\frac{7}{2}, -\frac{1}{2})$

$1+x = 7, 2+y = -1$より、$x = 6, y = -3$ よってU(6, -3)。

3. 最終的な答え

(0, -1), (2, 5), (6, -3)