直角三角形ABCにおいて、点PはBを出発し、BA上を毎秒2の速さで移動しAで折り返してBに戻る。点QはCを出発し、BC上を毎秒2の速さでBまで移動する。三角形PBQの面積を$S(t)$とする。$0 \le t \le 6$における$S(t)$に関するいくつかの問いに答える。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、点PはBを出発し、BA上を毎秒2の速さで移動しAで折り返してBに戻る。点QはCを出発し、BC上を毎秒2の速さでBまで移動する。三角形PBQの面積を$S(t)$とする。$0 \le t \le 6$における$S(t)$に関するいくつかの問いに答える。

2. 解き方の手順

(1) $0 \le t \le 3$のとき、PBの長さは$2t$、BQの長さは$12-2t$なので、

$S(t) = \frac{1}{2} \cdot PB \cdot BQ = \frac{1}{2} \cdot 2t \cdot (12-2t) = t(12-2t) = -2t^2 + 12t$

$3 \le t \le 6$のとき、点PはAで折り返しているので、PBの長さは$AB - 2(t-3) = 6 - 2t + 6 = 12-2t$、BQの長さは$12-2t$なので、

$S(t) = \frac{1}{2} \cdot PB \cdot BQ = \frac{1}{2} \cdot (12-2t) \cdot (12-2t) = \frac{1}{2}(12-2t)^2 = 2(6-t)^2 = 2(36-12t+t^2) = 2t^2 - 24t + 72$

(2) $S(t) = 10$となる$t$を求める。

$0 \le t \le 3$のとき、$S(t) = -2t^2 + 12t = 10$より、$-2t^2 + 12t - 10 = 0$。よって、$t^2 - 6t + 5 = 0$。$(t-1)(t-5) = 0$。$0 \le t \le 3$より、$t=1$。

$3 \le t \le 6$のとき、$S(t) = 2t^2 - 24t + 72 = 10$より、$2t^2 - 24t + 62 = 0$。よって、$t^2 - 12t + 31 = 0$。$t = \frac{12 \pm \sqrt{144-4(31)}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{20}}{2} = 6 \pm \sqrt{5}$。$3 \le t \le 6$より、$t = 6 - \sqrt{5}$。

したがって、$t = 1, 6 - \sqrt{5}$。

(3)

(i) $0 \le a \le 2$のとき、$a \le t \le a+1$における$S(t)$の最大値Mを求める。

$S(t) = -2t^2 + 12t = -2(t^2 - 6t) = -2(t^2 - 6t + 9 - 9) = -2(t-3)^2 + 18$

$S(t)$は$t=3$で最大値18をとる。

$0 \le a \le 2$なので、$a+1 \le 3$なので、$a+1 \le 3$のとき、$t=a+1$で最大。

$a+1 > 3$になることはない。

よって、$M = S(a+1) = -2(a+1)^2 + 12(a+1) = -2(a^2 + 2a + 1) + 12a + 12 = -2a^2 - 4a - 2 + 12a + 12 = -2a^2 + 8a + 10$

$M = 10$となるのは、$-2a^2 + 8a = 0$より、$a(-2a+8) = 0$。$a=0, 4$。$0 \le a \le 2$より、$a=0$。

しかし、$S(3) = 18$なので、$a+1 \ge 3$となる場合を考える。このとき最大値は18。

$a \le 3 \le a+1$より、$2 \le a \le 3$なので、$a=2$の時、$S(3)=18$となる。

$0 \le a \le 2$で最大値10となるときの$a$を求める。$-2a^2 + 8a + 10 = 10$より、$a=0, 4$。$0 \le a \le 2$なので、$a=0$。

(ii) $m = S(a)$となる$a$の値の範囲を求める。$S(t) = -2t^2 + 12t$

$S'(t) = -4t+12$より、$t=3$で最大値をとる。

$3 \le t \le 6$のとき、$S(t) = 2t^2 - 24t + 72$

$S'(t) = 4t - 24$より、$t=6$で最小値をとる。

$m = S(a)$となるとき、$a \le t \le a+1$における最小値が$S(a)$となる。

$a \le t \le a+1$で常に$S'(t) > 0$のとき、$t=a$で最小値をとる。

$-4t + 12 > 0$より、$t < 3$。つまり、$a+1 < 3$より、$a < 2$。

$4t - 24 < 0$より、$t < 6$。

$m = S(a)$となるのは、$S(a) \le S(a+1)$のとき。

$a \le 2$のとき、$S(a) = -2a^2 + 12a$, $S(a+1) = -2(a+1)^2 + 12(a+1) = -2a^2 + 8a + 10$

$-2a^2 + 12a \le -2a^2 + 8a + 10$より、$4a \le 10$。$a \le 2.5$。よって、$0 \le a \le 2$

$a \ge 3$のとき、$S(a) = 2a^2 - 24a + 72$，$S(a+1) = 2(a+1)^2 - 24(a+1) + 72 = 2a^2 - 20a + 50$

$2a^2 - 24a + 72 \le 2a^2 - 20a + 50$より、$-4a \le -22$。$a \ge 5.5$

よって、$5 \le a \le 5$のとき、$a \le 5.5$

$a=5$のとき、$S(5) = 2$、$S(6) = 0$

$0 \le a \le 5$なので、$a=0$から$a \le 2$までの範囲

(iii) $M - m = 8$となる定数aは複数存在する。このうち、2番目に値が大きいものの値は、

3. 最終的な答え

7: $-2t^2 + 12t$

8: $2t^2 - 24t + 72$

9: $1, 6-\sqrt{5}$

10: 0

11: 2

12: 5