2つの直線 $2x - y = 0$ と $2x + 4y - 3 = 0$ のなす角を2等分する直線の方程式を求めよ。

1. 問題の内容

2つの直線 $2x - y = 0$ と $2x + 4y - 3 = 0$ のなす角を2等分する直線の方程式を求めよ。

2. 解き方の手順

2つの直線 $ax + by + c = 0$ と $a'x + b'y + c' = 0$ のなす角を2等分する直線の方程式は、

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\frac{ax + by + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \pm \frac{a'x + b'y + c'}{\sqrt{a'^2 + b'^2}}

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で与えられる。

今回の問題では、$a = 2, b = -1, c = 0$ と $a' = 2, b' = 4, c' = -3$ であるから、

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\frac{2x - y}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \pm \frac{2x + 4y - 3}{\sqrt{2^2 + 4^2}}

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\frac{2x - y}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2x + 4y - 3}{\sqrt{20}}

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\frac{2x - y}{\sqrt{5}} = \pm \frac{2x + 4y - 3}{2\sqrt{5}}

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両辺に $2\sqrt{5}$ を掛けると、

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2(2x - y) = \pm (2x + 4y - 3)

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(i) プラスの場合

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4x - 2y = 2x + 4y - 3

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2x - 6y + 3 = 0

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(ii) マイナスの場合

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4x - 2y = - (2x + 4y - 3)

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4x - 2y = -2x - 4y + 3

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6x + 2y - 3 = 0

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3. 最終的な答え

2つの直線がなす角を2等分する直線の方程式は、

$2x - 6y + 3 = 0$ と $6x + 2y - 3 = 0$ である。