座標平面上の3点 $A(9, 12)$, $B(0, 0)$, $C(25, 0)$ を頂点とする三角形 $ABC$ について、以下の問いに答える。 (1) 三角形 $ABC$ の内接円の半径と中心の座標を求める。 (2) 三角形 $ABC$ の外接円の方程式を求める。

1. 問題の内容

座標平面上の3点 $A(9, 12)$, $B(0, 0)$, $C(25, 0)$ を頂点とする三角形 $ABC$ について、以下の問いに答える。

(1) 三角形 $ABC$ の内接円の半径と中心の座標を求める。

(2) 三角形 $ABC$ の外接円の方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 内接円の半径と中心の座標

まず、三角形 $ABC$ の各辺の長さを計算する。

$AB = \sqrt{(9-0)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$

$BC = \sqrt{(25-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{625} = 25$

$CA = \sqrt{(9-25)^2 + (12-0)^2} = \sqrt{(-16)^2 + 144} = \sqrt{256 + 144} = \sqrt{400} = 20$

次に、三角形 $ABC$ の面積 $S$ を計算する。

$BC$ を底辺とすると、高さは点 $A$ の $y$ 座標であるから、

$S = \frac{1}{2} \times 25 \times 12 = 150$

内接円の半径を $r$ とすると、三角形 $ABC$ の面積 $S$ は、

$S = \frac{1}{2}r(AB + BC + CA)$

$150 = \frac{1}{2}r(15 + 25 + 20) = \frac{1}{2}r(60) = 30r$

したがって、$r = \frac{150}{30} = 5$

内接円の中心の座標を $(x, y)$ とすると、$x, y$ は $AB, BC, CA$ の各直線から距離が $r=5$ に等しい。

直線 $BC$ の方程式は $y = 0$ なので、$y = 5$ である。

直線 $AB$ の方程式は $y = \frac{12}{9} x = \frac{4}{3}x$ すなわち $4x - 3y = 0$ である。

直線 $AB$ と点 $(x, y)$ の距離が $5$ なので、

$\frac{|4x - 3y|}{\sqrt{4^2 + (-3)^2}} = \frac{|4x - 3y|}{5} = 5$

$|4x - 3y| = 25$

$y = 5$ を代入して、$|4x - 15| = 25$

$4x - 15 = 25$ または $4x - 15 = -25$

$4x = 40$ または $4x = -10$

$x = 10$ または $x = -\frac{5}{2}$

$x > 0$ なので、$x = 10$

したがって、内接円の中心の座標は $(10, 5)$

(2) 外接円の方程式

外接円の方程式を $(x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2$ とおく。

点 $B(0, 0)$, $C(25, 0)$, $A(9, 12)$ を通るので、

$a^2 + b^2 = R^2$

$(25 - a)^2 + b^2 = R^2$

$(9 - a)^2 + (12 - b)^2 = R^2$

$a^2 + b^2 = (25 - a)^2 + b^2$ より、

$a^2 = 625 - 50a + a^2$

$50a = 625$

$a = \frac{625}{50} = \frac{25}{2}$

$a^2 + b^2 = (9 - a)^2 + (12 - b)^2$ より、

$(\frac{25}{2})^2 + b^2 = (9 - \frac{25}{2})^2 + (12 - b)^2$

$\frac{625}{4} + b^2 = (\frac{18 - 25}{2})^2 + 144 - 24b + b^2$

$\frac{625}{4} = \frac{49}{4} + 144 - 24b$

$625 = 49 + 576 - 96b$

$625 = 625 - 96b$

$96b = 0$

$b = 0$

$R^2 = (\frac{25}{2})^2 = \frac{625}{4}$

よって、外接円の方程式は $(x - \frac{25}{2})^2 + y^2 = \frac{625}{4}$

$x^2 - 25x + \frac{625}{4} + y^2 = \frac{625}{4}$

$x^2 - 25x + y^2 = 0$

3. 最終的な答え

(1) 内接円の半径: 5, 中心座標: (10, 5)

(2) 外接円の方程式: $x^2 + y^2 - 25x = 0$