$xyz$空間における不等式 $0 \le z \le 1 - x^2 - y^2$ で表される図形の概形を描く問題です。

1. 問題の内容

$xyz$空間における不等式 $0 \le z \le 1 - x^2 - y^2$ で表される図形の概形を描く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$z = 1 - x^2 - y^2$ を考えます。これは、$x^2 + y^2 + z = 1$ と書き換えられます。これは、$xy$平面上で原点$(0, 0)$を中心とする円を、$z$軸方向に $-1$ 平行移動したものを軸とする放物面です。この放物面は上に凸であり、$z$軸との交点は$z=1$です。

次に、$0 \le z$ という条件から、$z$が負になる部分は考えません。

不等式 $z \le 1 - x^2 - y^2$ は、$z = 1 - x^2 - y^2$ のグラフの下側の領域を表します。

$0 \le z \le 1 - x^2 - y^2$ という不等式は、$xy$平面上で原点$(0,0)$を中心とする円の内部の点$(x, y)$に対して、$z$が$0$から$1 - x^2 - y^2$までの範囲の値をとることを意味します。特に、$xy$平面上の円$x^2 + y^2 = 1$の内部で$z=0$となるので、$xy$平面上の円$x^2 + y^2 \le 1$が底面になります。

$z = 1 - x^2 - y^2$ のグラフは、$z$軸に関して回転対称であり、上面は上に凸の放物面で表されます。

3. 最終的な答え

図形の概形は、xy平面上に底面となる円$x^2 + y^2 \le 1$ があり、上面がz = 1 - x^2 - y^2 で表される放物面で覆われた、円柱を上から押しつぶしたような形状になります。これは、回転放物面の一部で区切られた立体です。