2点A(2, 5), B(3, 1) からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求める問題です。

1. 問題の内容

2点A(2, 5), B(3, 1) からの距離の比が1:2である点Pの軌跡を求める問題です。

2. 解き方の手順

点Pの座標を(x, y)とします。AP:BP = 1:2という条件から、AP = k、BP = 2k (kは正の定数)とおけます。

距離の公式より、

$AP = \sqrt{(x-2)^2 + (y-5)^2}$

$BP = \sqrt{(x-3)^2 + (y-1)^2}$

条件よりAP:BP = 1:2なので、AP = (1/2)BP。

両辺を2乗すると、$AP^2 = \frac{1}{4} BP^2$

$4AP^2 = BP^2$

$4((x-2)^2 + (y-5)^2) = (x-3)^2 + (y-1)^2$

展開して整理します。

$4(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25) = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1$

$4x^2 - 16x + 16 + 4y^2 - 40y + 100 = x^2 - 6x + 9 + y^2 - 2y + 1$

$3x^2 - 10x + 3y^2 - 38y + 106 = 0$

次に、平方完成を行います。

$3(x^2 - \frac{10}{3}x) + 3(y^2 - \frac{38}{3}y) + 106 = 0$

$3(x^2 - \frac{10}{3}x + (\frac{5}{3})^2) - 3(\frac{5}{3})^2 + 3(y^2 - \frac{38}{3}y + (\frac{19}{3})^2) - 3(\frac{19}{3})^2 + 106 = 0$

$3(x - \frac{5}{3})^2 + 3(y - \frac{19}{3})^2 - \frac{25}{3} - \frac{361}{3} + 106 = 0$

$3(x - \frac{5}{3})^2 + 3(y - \frac{19}{3})^2 - \frac{386}{3} + \frac{318}{3} = 0$

$3(x - \frac{5}{3})^2 + 3(y - \frac{19}{3})^2 = \frac{68}{3}$

$(x - \frac{5}{3})^2 + (y - \frac{19}{3})^2 = \frac{68}{9}$

3. 最終的な答え

求める軌跡は、中心$(\frac{5}{3}, \frac{19}{3})$、半径$\sqrt{\frac{68}{9}} = \frac{2\sqrt{17}}{3}$の円である。

$(x - \frac{5}{3})^2 + (y - \frac{19}{3})^2 = \frac{68}{9}$