問題は、図形に関する性質を利用して、指定された値を求めるものです。具体的には、以下の問題が含まれます。 (1) $\triangle ABC$ において、$AB=5$, $AC=8$ であり、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD:DC$ を求める問題。 (5) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA=5$, $PB=7$ であるとき、$PC \cdot PD$ を求める問題。 (6) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA=\sqrt{3}$, $PC=3$, $PD=5$ であるとき、$PB$ を求める問題。

はい、承知いたしました。

1. 問題の内容

問題は、図形に関する性質を利用して、指定された値を求めるものです。具体的には、以下の問題が含まれます。

(1) $\triangle ABC$ において、$AB=5$, $AC=8$ であり、$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD:DC$ を求める問題。

(5) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA=5$, $PB=7$ であるとき、$PC \cdot PD$ を求める問題。

(6) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA=\sqrt{3}$, $PC=3$, $PD=5$ であるとき、$PB$ を求める問題。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$BD:DC = AB:AC$ が成り立ちます。したがって、$BD:DC = 5:8$ となります。

(5) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立ちます。したがって、$PC \cdot PD = 5 \cdot 7 = 35$ となります。

(6) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立ちます。したがって、$\sqrt{3} \cdot PB = 3 \cdot 5$ となります。これから、$PB = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $BD:DC = 5:8$

(5) $PC \cdot PD = 35$

(6) $PB = 5\sqrt{3}$