(6) 2点 A(0, 6), B(3, 0) に対して、AP = BP を満たす点 P(x, y) を考える。AP = BP より、$AP^2 = BP^2$ が成り立つので、これを x, y で表し、整理すると、□ = 0 となる。この□を求める。 (7) 次の①～④の不等式の中で、下の図の斜線部分を表している不等式はどれか。ただし、境界線を含むものとする。 ① y + x + 2 ≥ 0 ② y - x - 2 ≥ 0 ③ y + x + 2 ≤ 0 ④ y - x - 2 ≤ 0 (8) 次の①～④の不等式の中で、下の図の斜線部分を表している不等式はどれか。ただし、境界線を含むものとする。 ① $x^2 + y^2 ≥ 2$ ② $x^2 + y^2 ≤ 2$ ③ $x^2 + y^2 ≥ 4$ ④ $x^2 + y^2 ≤ 4$

1. 問題の内容

(6) 2点 A(0, 6), B(3, 0) に対して、AP = BP を満たす点 P(x, y) を考える。AP = BP より、$AP^2 = BP^2$ が成り立つので、これを x, y で表し、整理すると、□ = 0 となる。この□を求める。

(7) 次の①～④の不等式の中で、下の図の斜線部分を表している不等式はどれか。ただし、境界線を含むものとする。

① y + x + 2 ≥ 0

② y - x - 2 ≥ 0

③ y + x + 2 ≤ 0

④ y - x - 2 ≤ 0

(8) 次の①～④の不等式の中で、下の図の斜線部分を表している不等式はどれか。ただし、境界線を含むものとする。

① $x^2 + y^2 ≥ 2$

② $x^2 + y^2 ≤ 2$

③ $x^2 + y^2 ≥ 4$

④ $x^2 + y^2 ≤ 4$

2. 解き方の手順

(6)

まず、$AP^2$と$BP^2$を計算する。

$AP^2 = (x - 0)^2 + (y - 6)^2 = x^2 + y^2 - 12y + 36$

$BP^2 = (x - 3)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$AP^2 = BP^2$より、

$x^2 + y^2 - 12y + 36 = x^2 - 6x + 9 + y^2$

$-12y + 36 = -6x + 9$

$6x - 12y + 27 = 0$

$2x - 4y + 9 = 0$

(7)

与えられた図の斜線部分は、$y = x + 2$ の境界線を含む領域である。

点(0, 0)が斜線部分に含まれているか確認する。

y = x + 2 に (0,0)を代入すると 0 = 0 + 2 となり、0 = 2 となり満たさないので、(0,0)は y = x + 2 上にない。

斜線部分は、y = x + 2 の左側にあるため、$y ≥ x + 2$もしくは、$y ≤ x + 2$である。

点(-3, 0)は斜線部分に含まれる。

y - x - 2 = 0 より y = x + 2 なので、$y - x - 2 ≥ 0$もしくは、$y - x - 2 ≤ 0$となる。

(-3, 0)を代入すると、$0 - (-3) - 2 ≥ 0$であれば、$y - x - 2 ≥ 0$、$0 - (-3) - 2 ≤ 0$であれば、$y - x - 2 ≤ 0$である。

$0 - (-3) - 2 = 3 - 2 = 1 ≥ 0$なので、$y - x - 2 ≥ 0$となる。

(8)

与えられた図は、原点を中心とする円で、半径は2である。したがって、円の方程式は $x^2 + y^2 = 2^2 = 4$ である。

斜線部分は円の内部なので、$x^2 + y^2 ≤ 4$となる。

3. 最終的な答え

(6) $2x - 4y + 9$

(7) ②

(8) ④