$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$ 、辺 $OA$ の中点を $M$ とする。線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP:PM$ を求めよ。

1. 問題の内容

$\triangle OAB$ において、辺 $AB$ を $2:3$ に内分する点を $L$ 、辺 $OA$ の中点を $M$ とする。線分 $OL$ と線分 $BM$ の交点を $P$ とするとき、$BP:PM$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、ベクトル $\vec{OP}$ を $\vec{OB}$ と $\vec{OM}$ を用いて表すことを考える。次に、ベクトル $\vec{OP}$ を $\vec{OL}$ と $\vec{OO}$ を用いて表すことを考える。

点 $P$ は線分 $BM$ 上にあるので、実数 $s$ を用いて

$$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OM}$$

と表せる。ここで $M$ は $OA$ の中点なので、 $\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA}$ であるから、

$$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + \frac{s}{2}\vec{OA} \qquad \cdots ①$$

次に、点 $P$ は線分 $OL$ 上にあるので、実数 $t$ を用いて

$$\vec{OP} = t\vec{OL}$$

と表せる。ここで $L$ は $AB$ を $2:3$ に内分する点なので、 $\vec{OL} = \frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5}$ であるから、

$$\vec{OP} = t\left(\frac{3\vec{OA} + 2\vec{OB}}{5}\right) = \frac{3t}{5}\vec{OA} + \frac{2t}{5}\vec{OB} \qquad \cdots ②$$

$\vec{OA}$ と $\vec{OB}$ は一次独立なので、①と②の係数を比較して

$$1-s = \frac{2t}{5}$$

$$\frac{s}{2} = \frac{3t}{5}$$

この2つの式から $s$ と $t$ を求める。

2番目の式を変形すると

$$s = \frac{6t}{5}$$

これを1番目の式に代入すると

$$1-\frac{6t}{5} = \frac{2t}{5}$$

$$1 = \frac{8t}{5}$$

$$t = \frac{5}{8}$$

したがって、$s = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{8} = \frac{3}{4}$ となる。

$\vec{OP} = (1-s)\vec{OB} + s\vec{OM}$ より、$\vec{OP} = \frac{1}{4}\vec{OB} + \frac{3}{4}\vec{OM}$ である。

これは $\vec{OP} = \frac{1 \cdot \vec{OM} + 3 \cdot \vec{OB}}{3+1}$ を意味するので、$P$ は線分 $BM$ を $3:1$ に内分する点である。

したがって、$BP:PM = 3:1$ である。

3. 最終的な答え

$BP:PM = 3:1$