2つの直線 $y=3x+1$ と $y=\frac{1}{2}x+2$ のなす角 $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの直線 $y=3x+1$ と $y=\frac{1}{2}x+2$ のなす角 $\theta$ ($0 < \theta < \frac{\pi}{2}$) を求める問題です。

2. 解き方の手順

2つの直線の傾きをそれぞれ $m_1, m_2$ とすると、なす角$\theta$は以下の式で求められます。

$\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$

与えられた2つの直線 $y=3x+1$ と $y=\frac{1}{2}x+2$ の傾きはそれぞれ $m_1 = 3$ と $m_2 = \frac{1}{2}$ です。

$\tan \theta$ を計算します。

$\tan \theta = \left| \frac{3 - \frac{1}{2}}{1 + 3 \cdot \frac{1}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{2}}{1 + \frac{3}{2}} \right| = \left| \frac{\frac{5}{2}}{\frac{5}{2}} \right| = |1| = 1$

$\tan \theta = 1$ となる $\theta$ の値を求めます。$0 < \theta < \frac{\pi}{2}$ の範囲で考えると、$\theta = \frac{\pi}{4}$ です。

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{4}$