領域 $D = \{(x, y) | 1 \le x^2 + y^2 \le 4, y \ge 0\}$ を極座標変換したとき、$r\theta$ 平面上の領域 $D_0$ として正しいものを選択肢から選びます。

幾何学極座標変換領域積分
2025/7/13

1. 問題の内容

領域 D={(x,y)1x2+y24,y0}D = \{(x, y) | 1 \le x^2 + y^2 \le 4, y \ge 0\} を極座標変換したとき、rθr\theta 平面上の領域 D0D_0 として正しいものを選択肢から選びます。

2. 解き方の手順

まず、x2+y2=r2x^2 + y^2 = r^2 であることを利用します。
1x2+y241 \le x^2 + y^2 \le 4 より、1r241 \le r^2 \le 4 となります。
したがって、1r21 \le r \le 2 です。
次に、y0y \ge 0 という条件から θ\theta の範囲を求めます。
極座標において、y=rsinθy = r \sin \theta です。
y0y \ge 0 より、rsinθ0r \sin \theta \ge 0 です。r0r \ge 0 なので、sinθ0\sin \theta \ge 0 である必要があります。
sinθ0\sin \theta \ge 0 を満たす θ\theta の範囲は、0θπ0 \le \theta \le \pi です。
したがって、1r21 \le r \le 2 かつ 0θπ0 \le \theta \le \pi である領域が D0D_0 になります。

3. 最終的な答え

D0={(r,θ)1r2,0θπ}D_0 = \{(r, \theta) | 1 \le r \le 2, 0 \le \theta \le \pi\}

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