周の長さが一定（$2S$）である三角形の面積の最大値を求めます。三角形の3辺の長さをそれぞれ$x$, $y$, $z$とします。ヘロンの公式を用いて、三角形の面積を$x, y, z$で表し、その最大値を求める問題です。ただし、$x > 0, y > 0, z > 0$, $x+y>z$, $y+z>x$, $z+x>y$, $x+y+z = 2S$が成り立ちます。 また、$0 < x < S, 0 < y < S, S < x+y, z=2S-x-y$という条件も与えられています。ヘロンの公式から、三角形の面積は$\sqrt{S(S-x)(S-y)(S-z)}$となります。この面積の最大値を求めることが目標です。

以下に、画像に示された問題の解き方を説明します。

1. 問題の内容

周の長さが一定（$2S$）である三角形の面積の最大値を求めます。三角形の3辺の長さをそれぞれ$x$, $y$, $z$とします。ヘロンの公式を用いて、三角形の面積を$x, y, z$で表し、その最大値を求める問題です。ただし、$x > 0, y > 0, z > 0$, $x+y>z$, $y+z>x$, $z+x>y$, $x+y+z = 2S$が成り立ちます。 また、$0 < x < S, 0 < y < S, S < x+y, z=2S-x-y$という条件も与えられています。ヘロンの公式から、三角形の面積は$\sqrt{S(S-x)(S-y)(S-z)}$となります。この面積の最大値を求めることが目標です。

2. 解き方の手順

まず、ヘロンの公式で表された三角形の面積の2乗を考えます。

$面積^2 = S(S-x)(S-y)(S-z)$

ここで、$z = 2S - x - y$なので、$S-z = S - (2S - x - y) = x + y - S$となります。

したがって、$面積^2 = S(S-x)(S-y)(x+y-S)$となります。

面積を最大にする$x$と$y$を求めるために、いくつかの条件を考慮します。三角形の成立条件より、$x,y,z$は正であり、$x+y > z$, $y+z > x$, $z+x > y$を満たす必要があります。

$面積^2 = f(x,y)= S(S-x)(S-y)(x+y-S)$を最大化する$x$と$y$を見つける必要があります。しかし、この関数を直接最大化するのは難しいです。

ここで、もし$x = y = z$であれば、三角形は正三角形になり、面積は最大になると予想できます。正三角形の場合、$x = y = z = \frac{2S}{3}$となります。このとき、$S - x = S - y = S - z = S - \frac{2S}{3} = \frac{S}{3}$となります。

$面積^2 = S(\frac{S}{3})(\frac{S}{3})(\frac{S}{3}) = \frac{S^4}{27}$

したがって、$面積 = \sqrt{\frac{S^4}{27}} = \frac{S^2}{3\sqrt{3}} = \frac{S^2\sqrt{3}}{9}$

この時、三角形の面積が最大となるのは、$x=y=z$、つまり正三角形の場合であると予想できます。

3. 最終的な答え

周長が$2S$の三角形の面積が最大になるのは正三角形のときであり、その面積は $\frac{S^2\sqrt{3}}{9}$ です。