(1) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $AC = 8$ である。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD : DC$ を求めよ。 (2) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 6$, $CA = 4$ である。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD$ を求めよ。 (3) $\triangle ABC$ の外接円が、点 $A$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle TAC = 50^\circ$ であるとき、$\angle ABC$ を求めよ。 (4) $\triangle ABC$ の外接円が、点 $A$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BAC = 70^\circ$, $\angle T'AB = 50^\circ$ であるとき、$\angle ABC$ を求めよ。 (5) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = 5$, $PB = 7$ であるとき、$PC \cdot PD$ を求めよ。 (6) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = \sqrt{3}$, $PC = 3$, $PD = 5$ であるとき、$PB$ を求めよ。

## 問題の回答

1. 問題の内容

(1) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $AC = 8$ である。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD : DC$ を求めよ。

(2) $\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 6$, $CA = 4$ である。$\angle A$ の二等分線と辺 $BC$ の交点を $D$ とするとき、$BD$ を求めよ。

(3) $\triangle ABC$ の外接円が、点 $A$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle TAC = 50^\circ$ であるとき、$\angle ABC$ を求めよ。

(4) $\triangle ABC$ の外接円が、点 $A$ で直線 $TT'$ に接している。$\angle BAC = 70^\circ$, $\angle T'AB = 50^\circ$ であるとき、$\angle ABC$ を求めよ。

(5) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = 5$, $PB = 7$ であるとき、$PC \cdot PD$ を求めよ。

(6) 円周上に4点 $A, B, C, D$ があり、2つの弦 $AB, CD$ の交点を $P$ とする。$PA = \sqrt{3}$, $PC = 3$, $PD = 5$ であるとき、$PB$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 角の二等分線の性質より、$BD : DC = AB : AC$ である。したがって、$BD : DC = 5 : 8$。

(2) 角の二等分線の性質より、$BD : DC = AB : AC$ である。$AB = 5$, $AC = 4$ なので、$BD : DC = 5 : 4$。$BC = 6$ であり、$BD + DC = 6$ なので、$BD = \frac{5}{5+4} \times 6 = \frac{5}{9} \times 6 = \frac{10}{3}$。

(3) 接弦定理より、$\angle ABC = \angle TAC = 50^\circ$。

(4) 接弦定理より、$\angle ACB = \angle T'AB = 50^\circ$。$\triangle ABC$ において、$\angle BAC = 70^\circ$ なので、$\angle ABC = 180^\circ - \angle BAC - \angle ACB = 180^\circ - 70^\circ - 50^\circ = 60^\circ$。

(5) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ である。$PA = 5$, $PB = 7$ なので、$PC \cdot PD = 5 \times 7 = 35$。

(6) 方べきの定理より、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$ である。$PA = \sqrt{3}$, $PC = 3$, $PD = 5$ なので、$\sqrt{3} \cdot PB = 3 \times 5$。よって、$PB = \frac{15}{\sqrt{3}} = \frac{15\sqrt{3}}{3} = 5\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $BD : DC = 5 : 8$

(2) $BD = \frac{10}{3}$

(3) $\angle ABC = 50^\circ$

(4) $\angle ABC = 60^\circ$

(5) $PC \cdot PD = 35$

(6) $PB = 5\sqrt{3}$