(1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\cos(90^\circ - \theta)$ を求めよ。 (2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\tan(180^\circ - \theta)$ を求めよ。 (3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ において、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値をすべて求めよ。 (4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$、$\triangle ABC$ の外接円の半径が $\sqrt{5}$ のとき、BC を求めよ。 (5) 右の図のように、$\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 3$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、AC を求めよ。 (6) 右の図のように、$\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $AC = 7$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。

以下に、画像に写っている数学の問題の解答を示します。

1. 問題の内容

(1) $0^\circ < \theta < 90^\circ$ のとき、$\cos(90^\circ - \theta)$ を求めよ。

(2) $0^\circ < \theta < 180^\circ$ のとき、$\tan(180^\circ - \theta)$ を求めよ。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ において、$\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ を満たす $\theta$ の値をすべて求めよ。

(4) $\triangle ABC$ において、$\angle A = 45^\circ$、$\triangle ABC$ の外接円の半径が $\sqrt{5}$ のとき、BC を求めよ。

(5) 右の図のように、$\triangle ABC$ において、$AB = 5$, $BC = 3$, $\angle B = 60^\circ$ のとき、AC を求めよ。

(6) 右の図のように、$\triangle ABC$ において、$AB = 4$, $AC = 7$, $\angle A = 60^\circ$ のとき、$\triangle ABC$ の面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 余角の公式より、$\cos(90^\circ - \theta) = \sin \theta$。

(2) 補角の公式より、$\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta$。

(3) $0^\circ \le \theta \le 180^\circ$ で $\sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\theta = 60^\circ$ と $\theta = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$ のとき。

(4) 正弦定理より、$\frac{BC}{\sin A} = 2R$。ここで $A = 45^\circ$, $R = \sqrt{5}$ なので、

$BC = 2R \sin A = 2\sqrt{5} \sin 45^\circ = 2\sqrt{5} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{10}$。

(5) 余弦定理より、$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot BC \cos B$。

$AC^2 = 5^2 + 3^2 - 2 \cdot 5 \cdot 3 \cos 60^\circ = 25 + 9 - 30 \cdot \frac{1}{2} = 34 - 15 = 19$。

よって、$AC = \sqrt{19}$。

(6) 面積の公式より、$\triangle ABC = \frac{1}{2} AB \cdot AC \sin A$。

$\triangle ABC = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 7 \sin 60^\circ = \frac{1}{2} \cdot 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 7\sqrt{3}$。

3. 最終的な答え

(1) $\sin \theta$

(2) $-\tan \theta$

(3) $\theta = 60^\circ, 120^\circ$

(4) $BC = \sqrt{10}$

(5) $AC = \sqrt{19}$

(6) $7\sqrt{3}$