円に内接する三角形ABCがある。点Aにおける接線と直線BCの交点をDとする。∠BACの二等分線と辺BCの交点をEとする。AD=9, AC=CD=6とする。 (1) BCの長さを求めよ。 (2) BE:ECを求めよ。 (3) △ABEの面積を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する三角形ABCがある。点Aにおける接線と直線BCの交点をDとする。∠BACの二等分線と辺BCの交点をEとする。AD=9, AC=CD=6とする。

(1) BCの長さを求めよ。

(2) BE:ECを求めよ。

(3) △ABEの面積を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) BCの長さを求める。

方べきの定理より、$AD^2 = DB \cdot DC$ が成り立つ。

$AD = 9$, $DC = 6$ なので、$9^2 = DB \cdot 6$

$81 = 6DB$

$DB = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}$

$BC = DB - DC = \frac{27}{2} - 6 = \frac{27}{2} - \frac{12}{2} = \frac{15}{2}$

(2) BE:ECを求める。

角の二等分線の定理より、$BE:EC = AB:AC$。

△ADCにおいて、$AD=9$, $CD=AC=6$なので、△ADCは二等辺三角形である。

したがって、$\angle DAC = \angle DCA$

また、接弦定理より、$\angle DAC = \angle ABC$

よって、$\angle ABC = \angle DCA$

△ABCと△DACにおいて、$\angle ACB = \angle DCA$（共通）、$\angle ABC = \angle DAC$

したがって、△ABC∽△DAC

よって、$AC:DC = AB:AD = BC:AC$

$6:6 = AB:9 = \frac{15}{2}:6$

$AB = 9$

$AB:AC = 9:6 = 3:2$

したがって、$BE:EC = 3:2$

(3) △ABEの面積を求める。

△ABCにおいて、$BC = \frac{15}{2}$, $BE:EC = 3:2$より、$BE = \frac{3}{5}BC = \frac{3}{5} \cdot \frac{15}{2} = \frac{9}{2}$

$EC = \frac{2}{5}BC = \frac{2}{5} \cdot \frac{15}{2} = 3$

△ABCと△ABEの面積比は、底辺の比に等しいので、$S_{\triangle ABE} : S_{\triangle ABC} = BE:BC = \frac{9}{2} : \frac{15}{2} = 9:15 = 3:5$

$S_{\triangle ABE} = \frac{3}{5} S_{\triangle ABC}$

ヘロンの公式を使って、△ABCの面積を計算する。

$a=9, b=6, c=\frac{15}{2}$

$s = \frac{9+6+\frac{15}{2}}{2} = \frac{15+\frac{15}{2}}{2} = \frac{\frac{45}{2}}{2} = \frac{45}{4}$

$S_{\triangle ABC} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{45}{4}(\frac{45}{4}-9)(\frac{45}{4}-6)(\frac{45}{4}-\frac{15}{2})} = \sqrt{\frac{45}{4}(\frac{9}{4})(\frac{21}{4})(\frac{15}{4})} = \sqrt{\frac{45 \cdot 9 \cdot 21 \cdot 15}{4^4}} = \frac{\sqrt{3^2 \cdot 5 \cdot 3^2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 3 \cdot 5}}{16} = \frac{\sqrt{3^6 \cdot 5^2 \cdot 7}}{16} = \frac{3^3 \cdot 5 \sqrt{7}}{16} = \frac{27 \cdot 5 \sqrt{7}}{16} = \frac{135 \sqrt{7}}{16}$

$S_{\triangle ABE} = \frac{3}{5} \cdot \frac{135 \sqrt{7}}{16} = \frac{3 \cdot 27 \sqrt{7}}{16} = \frac{81 \sqrt{7}}{16}$

3. 最終的な答え

(1) BC = $\frac{15}{2}$

(2) BE:EC = 3:2

(3) △ABEの面積 = $\frac{81\sqrt{7}}{16}$