(1) 直角三角形ABCにおいて、AB=13、AC=5である。角Bに対するsin、cos、tanの値を求める。 (2) $0^\circ < \theta < 90^\circ$において、$\sin \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) 直角三角形ABCにおいて、AB=13、AC=5である。角Bに対するsin、cos、tanの値を求める。

(2) $0^\circ < \theta < 90^\circ$において、$\sin \theta = \frac{2}{3}$ のとき、$\cos \theta$ と $\tan \theta$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、ピタゴラスの定理を用いてBCの長さを求める。

$BC^2 + AC^2 = AB^2$

$BC^2 + 5^2 = 13^2$

$BC^2 + 25 = 169$

$BC^2 = 144$

$BC = 12$

三角比の定義より、

$\sin B = \frac{AC}{AB} = \frac{5}{13}$

$\cos B = \frac{BC}{AB} = \frac{12}{13}$

$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{5}{12}$

(2)

三角比の相互関係 $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ を用いる。

$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$

$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{2}{3})^2$

$\cos^2 \theta = 1 - \frac{4}{9}$

$\cos^2 \theta = \frac{5}{9}$

$0^\circ < \theta < 90^\circ$ なので $\cos \theta > 0$。よって

$\cos \theta = \sqrt{\frac{5}{9}} = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$より、

$\tan \theta = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5}$

3. 最終的な答え

(1)

$\sin B = \frac{5}{13}$

$\cos B = \frac{12}{13}$

$\tan B = \frac{5}{12}$

(2)

$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$

$\tan \theta = \frac{2\sqrt{5}}{5}$