双曲線の方程式を求める問題です。 与えられた条件は以下の通りです。 * 漸近線が $x = 2$ と $y = -1$ * 点 $(3, 2)$ を通る 双曲線の方程式は $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の形で表されます。

1. 問題の内容

双曲線の方程式を求める問題です。

与えられた条件は以下の通りです。

* 漸近線が $x = 2$ と $y = -1$

* 点 $(3, 2)$ を通る

双曲線の方程式は $y = \frac{ax + b}{cx + d}$ の形で表されます。

2. 解き方の手順

まず、漸近線が $x = 2$ であることから、$cx + d = 0$ となる $x$ が $2$ である必要があります。つまり、$2c + d = 0$ です。したがって、$d = -2c$ となります。

双曲線の方程式は、

$y = \frac{ax + b}{cx - 2c} = \frac{ax + b}{c(x - 2)}$ と書けます。

次に、漸近線が $y = -1$ であることから、$x$ が非常に大きいとき、$y$ は $-1$ に近づきます。したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{ax + b}{c(x - 2)} = -1$

$\frac{a}{c} = -1$

$a = -c$

したがって、双曲線の方程式は、

$y = \frac{-cx + b}{c(x - 2)}$ となります。

この双曲線は点 $(3, 2)$ を通るので、

$2 = \frac{-3c + b}{c(3 - 2)}$

$2 = \frac{-3c + b}{c}$

$2c = -3c + b$

$b = 5c$

したがって、双曲線の方程式は

$y = \frac{-cx + 5c}{c(x - 2)} = \frac{c(-x + 5)}{c(x - 2)} = \frac{-x + 5}{x - 2}$

$y = \frac{-x + 5}{x - 2}$

3. 最終的な答え

$y = \frac{-x + 5}{x - 2}$