問題1: 直線 $4x + 3y + 1 = 0$ に関して、点 $A(-5, -2)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。 問題2: 2点 $A(3, 4)$, $B(5, 0)$ について、線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求める。

1. 問題の内容

問題1: 直線 $4x + 3y + 1 = 0$ に関して、点 $A(-5, -2)$ と対称な点 $B$ の座標を求める。

問題2: 2点 $A(3, 4)$, $B(5, 0)$ について、線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式を求める。

2. 解き方の手順

問題1:

1. 直線 $4x + 3y + 1 = 0$ を $l$ とする。点 $B$ の座標を $(p, q)$ とする。

2. 線分 $AB$ の中点 $M$ は直線 $l$ 上にあるので、 $M$ の座標は $(\frac{-5+p}{2}, \frac{-2+q}{2})$ と表せる。

これを $l$ の式に代入すると、

$4(\frac{-5+p}{2}) + 3(\frac{-2+q}{2}) + 1 = 0$

$2(-5+p) + \frac{3}{2}(-2+q) + 1 = 0$

$-10 + 2p - 3 + \frac{3}{2}q + 1 = 0$

$2p + \frac{3}{2}q - 12 = 0$

$4p + 3q - 24 = 0$ ... (1)

3. 直線 $AB$ は直線 $l$ と垂直なので、傾きの積は $-1$ となる。

$l$ の傾きは $-\frac{4}{3}$ である。

直線 $AB$ の傾きは $\frac{q - (-2)}{p - (-5)} = \frac{q + 2}{p + 5}$ である。

したがって、$\frac{q + 2}{p + 5} \cdot (-\frac{4}{3}) = -1$

$\frac{q + 2}{p + 5} = \frac{3}{4}$

$4(q + 2) = 3(p + 5)$

$4q + 8 = 3p + 15$

$3p - 4q + 7 = 0$ ... (2)

4. (1)と(2)の連立方程式を解く。

(1)より $4p + 3q = 24$

(2)より $3p - 4q = -7$

(1) * 4 + (2) * 3 より $16p + 12q + 9p - 12q = 96 - 21$

$25p = 75$

$p = 3$

(1)に代入して、 $4(3) + 3q = 24$

$12 + 3q = 24$

$3q = 12$

$q = 4$

問題2:

1. 線分 $AB$ の中点 $M$ の座標を求める。

$M = (\frac{3+5}{2}, \frac{4+0}{2}) = (4, 2)$

2. 線分 $AB$ の傾きを求める。

$\frac{0 - 4}{5 - 3} = \frac{-4}{2} = -2$

3. 線分 $AB$ の垂直二等分線の傾きは、線分 $AB$ の傾きの逆数の符号を反転させたものなので、 $\frac{1}{2}$ である。

4. 中点 $M(4, 2)$ を通り、傾きが $\frac{1}{2}$ の直線の方程式を求める。

$y - 2 = \frac{1}{2}(x - 4)$

$y - 2 = \frac{1}{2}x - 2$

$y = \frac{1}{2}x$

$x - 2y = 0$

3. 最終的な答え

問題1: 対称な点 $B$ の座標は $(3, 4)$。

問題2: 線分 $AB$ の垂直二等分線の方程式は $x - 2y = 0$。