問題2について、以下の4つの問いに答えます。 (1) 2点A(3, 2)とB(1, 5)の距離を求めます。 (2) 直線ABの方程式を求めます。 (3) 点C(-2, -1)と直線ABの距離を求めます。 (4) 三角形ABCの面積を求めます。

1. 問題の内容

問題2について、以下の4つの問いに答えます。

(1) 2点A(3, 2)とB(1, 5)の距離を求めます。

(2) 直線ABの方程式を求めます。

(3) 点C(-2, -1)と直線ABの距離を求めます。

(4) 三角形ABCの面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 2点A(3, 2)とB(1, 5)の距離は、2点間の距離の公式を用いて計算します。

距離 = $\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$

A(3, 2), B(1, 5)を代入すると、

距離 = $\sqrt{(1 - 3)^2 + (5 - 2)^2} = \sqrt{(-2)^2 + (3)^2} = \sqrt{4 + 9} = \sqrt{13}$

(2) 直線ABの方程式を求めます。まず、傾きを求めます。

傾き = $\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{5 - 2}{1 - 3} = \frac{3}{-2} = -\frac{3}{2}$

点A(3, 2)を通り、傾きが$-\frac{3}{2}$の直線の方程式は、点傾きの公式を用いて、

$y - y_1 = m(x - x_1)$

$y - 2 = -\frac{3}{2}(x - 3)$

$y - 2 = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{9}{2} + 2$

$y = -\frac{3}{2}x + \frac{13}{2}$

両辺に2をかけると

$2y = -3x + 13$

$3x + 2y - 13 = 0$

(3) 点C(-2, -1)と直線ABの距離を求めます。直線の方程式を$3x + 2y - 13 = 0$とします。点と直線の距離の公式を用いて、

距離 = $\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$

$A = 3$, $B = 2$, $C = -13$, $x_0 = -2$, $y_0 = -1$を代入すると、

距離 = $\frac{|3(-2) + 2(-1) - 13|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|-6 - 2 - 13|}{\sqrt{9 + 4}} = \frac{|-21|}{\sqrt{13}} = \frac{21}{\sqrt{13}} = \frac{21\sqrt{13}}{13}$

(4) 三角形ABCの面積を求めます。

まず、ABを底辺とします。ABの長さは$\sqrt{13}$です。

高さは点Cと直線ABの距離なので、$\frac{21\sqrt{13}}{13}$です。

三角形の面積 = $\frac{1}{2} \times 底辺 \times 高さ = \frac{1}{2} \times \sqrt{13} \times \frac{21\sqrt{13}}{13} = \frac{1}{2} \times \frac{21 \times 13}{13} = \frac{21}{2}$

3. 最終的な答え

(1) 2点A, Bの距離: $\sqrt{13}$

(2) 直線ABの方程式: $3x + 2y - 13 = 0$

(3) 点Cと直線ABの距離: $\frac{21\sqrt{13}}{13}$

(4) 三角形ABCの面積: $\frac{21}{2}$