三角関数の問題が5つあります。 (1) $\alpha, \beta$ が鋭角で、$\sin{\alpha} = \frac{3}{5}$, $\cos{\beta} = \frac{5}{13}$ のとき、$\cos{(\alpha - \beta)}$ の値を求めます。 (2) $\sin{\theta} + \cos{\theta} = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin{2\theta}$ の値を求めます。 (3) 与えられたグラフは、$y = \sin{\theta}$ のグラフを $\theta$ 軸方向に平行移動したものです。その移動量を求めます。 (4) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、関数 $y = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ の最大値と最小値を求めます。 (5) 方程式 $\cos{2\theta} + 3\cos{\theta} - 1 = 0$ ($0 \le \theta < 2\pi$) の解を求めます。

1. 問題の内容

三角関数の問題が5つあります。

(1) $\alpha, \beta$ が鋭角で、$\sin{\alpha} = \frac{3}{5}$, $\cos{\beta} = \frac{5}{13}$ のとき、$\cos{(\alpha - \beta)}$ の値を求めます。

(2) $\sin{\theta} + \cos{\theta} = \frac{1}{3}$ のとき、$\sin{2\theta}$ の値を求めます。

(3) 与えられたグラフは、$y = \sin{\theta}$ のグラフを $\theta$ 軸方向に平行移動したものです。その移動量を求めます。

(4) $0 \le \theta \le \pi$ のとき、関数 $y = \sin{\theta} + \cos{\theta}$ の最大値と最小値を求めます。

(5) 方程式 $\cos{2\theta} + 3\cos{\theta} - 1 = 0$ ($0 \le \theta < 2\pi$) の解を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

$\cos{(\alpha - \beta)} = \cos{\alpha}\cos{\beta} + \sin{\alpha}\sin{\beta}$ を用います。

$\sin{\alpha} = \frac{3}{5}$ より $\cos{\alpha} = \sqrt{1 - \sin^2{\alpha}} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

$\cos{\beta} = \frac{5}{13}$ より $\sin{\beta} = \sqrt{1 - \cos^2{\beta}} = \sqrt{1 - (\frac{5}{13})^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}$

よって、$\cos{(\alpha - \beta)} = \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{13} + \frac{3}{5} \cdot \frac{12}{13} = \frac{20}{65} + \frac{36}{65} = \frac{56}{65}$

(2)

$\sin{\theta} + \cos{\theta} = \frac{1}{3}$ の両辺を2乗すると、

$(\sin{\theta} + \cos{\theta})^2 = (\frac{1}{3})^2$

$\sin^2{\theta} + 2\sin{\theta}\cos{\theta} + \cos^2{\theta} = \frac{1}{9}$

$1 + 2\sin{\theta}\cos{\theta} = \frac{1}{9}$

$1 + \sin{2\theta} = \frac{1}{9}$

$\sin{2\theta} = \frac{1}{9} - 1 = -\frac{8}{9}$

(3)

$y = \sin{\theta}$ のグラフが $\theta$ 軸方向に $x$ だけ平行移動したグラフは $y = \sin{(\theta - x)}$ と表されます。

与えられたグラフは $y = \sin{\theta}$ のグラフを $\theta$ 軸方向に $-\frac{\pi}{3}$ だけ平行移動したものです。なぜなら、グラフは $\theta = -\frac{2\pi}{3}$ で $\sin{(\theta + \frac{\pi}{3})} = \sin{0} = 0$ の値を取るためです。

(4)

$y = \sin{\theta} + \cos{\theta} = \sqrt{2}(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin{\theta} + \frac{1}{\sqrt{2}}\cos{\theta}) = \sqrt{2}\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}$

$0 \le \theta \le \pi$ より $\frac{\pi}{4} \le \theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{5\pi}{4}$

$\sin{(\theta + \frac{\pi}{4})}$ の最大値は 1 ($\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ のとき、つまり $\theta = \frac{\pi}{4}$)、最小値は $-\frac{1}{\sqrt{2}}$ ($\theta + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$ のとき、つまり $\theta = \pi$)

よって、$y$ の最大値は $\sqrt{2} \cdot 1 = \sqrt{2}$、最小値は $\sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = -1$

(5)

$\cos{2\theta} + 3\cos{\theta} - 1 = 0$

$2\cos^2{\theta} - 1 + 3\cos{\theta} - 1 = 0$

$2\cos^2{\theta} + 3\cos{\theta} - 2 = 0$

$(2\cos{\theta} - 1)(\cos{\theta} + 2) = 0$

$2\cos{\theta} - 1 = 0$ または $\cos{\theta} + 2 = 0$

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$ または $\cos{\theta} = -2$

$\cos{\theta} = -2$ は解なし。

$\cos{\theta} = \frac{1}{2}$ となる $\theta$ は、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

(1) $\cos{(\alpha - \beta)} = \frac{56}{65}$

(2) $\sin{2\theta} = -\frac{8}{9}$

(3) $-\frac{\pi}{3}$

(4) 最大値: $\sqrt{2}$, 最小値: $-1$

(5) $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$