## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

与えられた図形と方程式に関する5つの問題があります。

(1) 2点 $A(-5, 4)$ と $B(1, 2)$ を結ぶ線分の垂直二等分線の方程式を求めます。

(2) 3点 $O(0, 0)$, $A(8, 0)$, $B(0, 6)$ を通る円の中心の座標を求めます。

(3) 円 $x^2 + y^2 = 7$ と直線 $y = -2x + k$ が接するときの $k$ の値を求めます。

(4) 円 $x^2 + y^2 = 6$ と直線 $x + y + 2 = 0$ の2つの交点を結ぶ線分の長さを求めます。

(5) 直線 $y = 2x$ に関して点 $A(0, 5)$ と対称な点 $B$ の座標を求めます。

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2. 解き方の手順

**(1) 垂直二等分線の方程式**

1. 線分 $AB$ の中点を求めます。中点の座標は $((-5 + 1)/2, (4 + 2)/2) = (-2, 3)$ です。

2. 線分 $AB$ の傾きを求めます。傾きは $(2 - 4)/(1 - (-5)) = -2/6 = -1/3$ です。

3. 垂直二等分線の傾きは、線分 $AB$ の傾きの逆数の符号を反転させたものなので、3 です。

4. 中点 $(-2, 3)$ を通り、傾きが 3 の直線の方程式を求めます。$y - 3 = 3(x + 2)$ より、$y = 3x + 9$。したがって、$3x - y + 9 = 0$

**(2) 円の中心の座標**

1. 円の中心を $(a, b)$ とします。

2. 点 $O(0, 0)$ と $A(8, 0)$ を通るので、$a^2 + b^2 = (a - 8)^2 + b^2$ が成り立ちます。展開すると、$a^2 = a^2 - 16a + 64$ となり、$16a = 64$ より $a = 4$。

3. 点 $O(0, 0)$ と $B(0, 6)$ を通るので、$a^2 + b^2 = a^2 + (b - 6)^2$ が成り立ちます。展開すると、$b^2 = b^2 - 12b + 36$ となり、$12b = 36$ より $b = 3$。

4. したがって、円の中心の座標は $(4, 3)$ です。

**(3) 円と直線の接する条件**

1. 円 $x^2 + y^2 = 7$ の中心は $(0, 0)$、半径は $\sqrt{7}$ です。

2. 直線 $y = -2x + k$ を $2x + y - k = 0$ と変形します。

3. 円の中心 $(0, 0)$ から直線 $2x + y - k = 0$ までの距離が半径 $\sqrt{7}$ に等しくなる条件を使います。

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\frac{|2(0) + (0) - k|}{\sqrt{2^2 + 1^2}} = \sqrt{7}

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\frac{|-k|}{\sqrt{5}} = \sqrt{7}

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|k| = \sqrt{35}

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4. よって、$k = \pm \sqrt{35}$ です。

**(4) 交点を結ぶ線分の長さ**

1. 円の方程式 $x^2 + y^2 = 6$ と直線の方程式 $x + y + 2 = 0$ から、$y = -x - 2$ を得ます。

2. これを円の方程式に代入すると、$x^2 + (-x - 2)^2 = 6$ となります。

3. $x^2 + x^2 + 4x + 4 = 6$ より、$2x^2 + 4x - 2 = 0$。つまり、$x^2 + 2x - 1 = 0$。

4. この二次方程式の解を $x_1, x_2$ とすると、$x_1 + x_2 = -2$、$x_1 x_2 = -1$ です。

5. 対応する $y$ 座標は $y_1 = -x_1 - 2$, $y_2 = -x_2 - 2$ です。

6. 線分の長さ $L$ は、

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L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

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L = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (-x_2 - 2 - (-x_1 - 2))^2} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (x_1 - x_2)^2}

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L = \sqrt{2(x_2 - x_1)^2} = \sqrt{2((x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2)} = \sqrt{2((-2)^2 - 4(-1))}

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L = \sqrt{2(4 + 4)} = \sqrt{16} = 4

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**(5) 対称な点の座標**

1. 直線 $y = 2x$ に関して点 $A(0, 5)$ と対称な点 $B(x, y)$ を求めます。

2. 線分 $AB$ の中点は $((0 + x)/2, (5 + y)/2)$ であり、これは直線 $y = 2x$ 上にあるので、$(5 + y)/2 = 2(0 + x)/2$ より $5 + y = 2x$。

3. 線分 $AB$ の傾きは $(y - 5)/(x - 0) = (y - 5)/x$ であり、これは直線 $y = 2x$ の傾き 2 と垂直なので、$(y - 5)/x = -1/2$ より $2(y - 5) = -x$。

4. 連立方程式を解きます。$y = 2x - 5$ と $2(y - 5) = -x$ より、$2(2x - 5 - 5) = -x$。

5. $4x - 20 = -x$ より、$5x = 20$、$x = 4$。$y = 2(4) - 5 = 3$。

6. したがって、対称な点 $B$ の座標は $(4, 3)$ です。

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3. 最終的な答え

(1) $3x - y + 9 = 0$

(2) $(4, 3)$

(3) $\pm \sqrt{35}$

(4) $4$

(5) $(4, 3)$