領域 $D = \{(x, y) | 1 \le x^2 + y^2 \le 4, y \ge x, y \ge -x\}$ を極座標変換したとき、rθ平面上の領域 $D_0$ として正しいものを選択肢から選ぶ問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | 1 \le x^2 + y^2 \le 4, y \ge x, y \ge -x\}$ を極座標変換したとき、rθ平面上の領域 $D_0$ として正しいものを選択肢から選ぶ問題です。

2. 解き方の手順

まず、領域Dを極座標で表すことを考えます。

$x = r\cos\theta$、 $y = r\sin\theta$ とすると、 $x^2 + y^2 = r^2$ となります。

条件 $1 \le x^2 + y^2 \le 4$ は、$1 \le r^2 \le 4$ となり、$r > 0$ より $1 \le r \le 2$ となります。

次に、$y \ge x$ より、$r\sin\theta \ge r\cos\theta$ となります。 $r > 0$ なので、$\sin\theta \ge \cos\theta$ となり、$\tan\theta \ge 1$ となります。これを満たす $\theta$ の範囲は $\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$ となります。

最後に、$y \ge -x$ より、$r\sin\theta \ge -r\cos\theta$ となります。 $r > 0$ なので、$\sin\theta \ge -\cos\theta$ となり、$\tan\theta \ge -1$ となります。これを満たす $\theta$ の範囲は $-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}$となります。

したがって、$\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{5\pi}{4}$ と $-\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}$ の共通部分を求めます。

$\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}$ が求める $\theta$ の範囲となります。

よって、$D_0 = \{(r, \theta) | 1 \le r \le 2, \frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}\}$ となります。

3. 最終的な答え

$D_0 = \{(r, \theta) | 1 \le r \le 2, \frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{3\pi}{4}\}$